曲率二次衰減的開流形的基本群

金亞東，朱 鵬

(江蘇理工學院 數理學院，江蘇 常州 213001)

0 引言

1968年，Milnor猜想對于一個完備非緊黎曼流形Mn，若它具有非負Ricci曲率，則其基本群必是有限生成的[1]。至今，雖然有一些進展，但這個猜想還沒有得到完全證[2－4]。

最近，Sormani證明[5]了若Mn的直徑增長還滿足小的線性增長條件，則基本群是有限生成。文獻[6]，[7]對文獻[5]中的萬有常數進行改進，得到了相應的結果。張運濤和徐栩證明[8]了若Mn的曲率滿足二次衰減條件下，則在Mn滿足小的直徑線性增長條件下Mn一定具有有限的基本群，我們證明了Mn的曲率在滿足更一般的條件(極小截曲率二次衰減)下，具有相同的結果。

本文在極小截曲率二次衰減的條件下推廣了一致割引理，利用這一重要引理證明了此類流形在滿足直徑增長條件下具有有限的基本群，即

定理A 設Mn是一個完備非緊黎曼流形，其極小截曲率關于常數C＞0二次衰減，且存在一個萬有常數C1＞0，使得若，則Mn具有有限生成的基本群。

定理B 設Mn是一個完備非緊黎曼流形，其極小截曲率關于常數C＞0二次衰減，且存在一個萬有常數C1＞0，使得若，則Mn具有有限生成的基本群。

1 主要引理

定義1[9]設0∈Mn為一個定點，Mn被稱作具有關于常數C＞0二次衰減極小截曲率，如果對任意的p∈Mn，其極小截曲率Kmino(p)滿足

為了研究曲率α次衰減的開流形的基本群，需要一些引理。

引理1[5]設Mn是一個完備非緊Riemannian流形，其基本群為π1(M，x0)其中x0∈Mn，則存在π1(M，x0)的線性無關的生成元的有序集合{g1，g2，g3，…}，以及相應長度為dk的極小測地圈 γk，使得

下面敘述對本文兩個定理的證明起非常重要的引理(一致割引理)。

引理2 設Mn為關于常數C＞0二次衰減極小截曲率的完備非緊Riemannian流形，γ為基點在x0∈Mn，長度為L(γ)=D的不可縮測地圈，滿足下列條件:

(1)對于任意基點為x0且同倫與γ的測地圈σ，均有L(σ)≥D;

根據Toponogov比較定理和雙曲幾何中的余弦定理，有，從上面兩式可以得到

2 定理的證明

定理A的證明 假設Mn有無限生成的基本群π1(M，x0)，根據引理1，存在基本群的生成元序列gk，基點在x0的極小測地圈γk滿足引理3的條件，設dk=L(γk)，注意，此時dk→+∞(k→∞)。

這與定理A中的條件矛盾。

定理B的證明 證明方法與定理A的證明相類似，只要定理A的證明的γ變為滿足下面等式中的

[1]Milnor J，A note on curvature and fundamental group[J].Journal of Differential Geometry，1968，2(1):1 －7.

[2]Cheeger J，Gromoll D，On the structure of completemanifolds of nonnegative curvature[J].Ann.of Math.，1972，96(2):413－443.

[3]Schoen R，Yau ST，Complete three dimensional manifolds with positive Riccicurvature and scalar curvature[J].Seminar on Differential Geometry，1982，102:209 －228.

[4]Anderson，Michael T.On the topology of completemanifolds of nonnegative Ricci curvature[J].Topology，1990，29(1):41 －55.

[5]Sormani C.Nonnegative Ricci curvature，small linear diameter grow th and finite generation of fundamental groups[J].Journal of Differential Geometry，2000，54(3):547 －559.

[6]XU Sen－lin，WANG Zuo － qin，YANG Fang － yun.On the fundamental Group of open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J].Chinese Annals of Mathematics，2003，24(4):469 －474.

[7]XU Sen － lin，DENG Qin － tao.The fundamental Group of openmanifoldswith nonnegative Ricci curvature[J].Acta Mathematica Sinica，Chinese Series，2006，49(2):353 －356.

[8]ZHANG Yun － tao，XU Xu.On the fundamental Group of Complete Manifoldswith Lower Quadratic Curvature Decay[J].Acta Mathematica Sinca，Chinese Series，2007，50(5):1 093 －1 098.

[9]Santos New ton L.Manifolds with asymptotically nonnegativeminimal radial curvature[J].Advances in Geometry，2007，7(3):331－355.