常用穩健估計方法在坐標系統轉換中的有效性比較

□董巧玲 王冠儒

（太原理工大學礦業工程學院測繪科學與技術系，山西太原030024）

常用穩健估計方法在坐標系統轉換中的有效性比較

□董巧玲 王冠儒

（太原理工大學礦業工程學院測繪科學與技術系，山西太原030024）

在進行GNSS坐標系統之間相互轉換的坐標擬合時，多采用基于最小二乘估計來研究不同的擬合方法，這就要求參與建模的觀測數據不包含粗差，一旦將粗差引入模型，就會造成參數的最小二乘估計結果失真。而穩健估計方法能有效地消除或減弱粗差對參數估計的影響。本文探討了基于四參數和七參數模型坐標系統轉換中，當觀測值中包含粗差時幾種常用穩健估計方法（Huber法、Tukey法、Danish法、IGGIII方案）的相對有效性，對于穩健估計方法的選取具有一定的參考價值。

穩健估計；粗差；坐標轉換

1.引言

自1953年G.E.P.BOX首先提出穩健性（Robustness）的概念，Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人對參數的穩健估計進行了卓有成效的研究[1]，1980年，丹麥的Krarup和Kubik等人將穩健估計理論引入了測量界，1989年，周江文研究員針對測量平差中不等權觀測值普遍存在的情況下，提出了等價權原理，解決了不同精度獨立觀測的權函數的確定的問題。由于穩健估計能夠比較好的處理測量原始數據含有粗差的問題，從此在測量界掀起了對穩健估計研究的熱潮，這些研究擴充了穩健估計方法的成果，為進一步理論研究和在測繪中應用打下了基礎。坐標系統之間的轉換是應用GNSS定位技術不可避免的問題[2]。近代以來，隨著3S等先進測量技術的發展以及測量數據采集的現代化和自動化，在某種意義上，粗差也不可避免地被包含在了平差模型之中[3]。由于最小二乘法對含有粗差的觀測量相當敏感，個別粗差就會對參數的估值產生較大的影響[1]，此時，在測量數據服從正態分布情況下具有最優統計性質的經典最小二乘法就不能滿足高精度測量的需要。針對最小二乘估計這一缺陷便提出了具有一定抵抗粗差能力的穩健估計方法。穩健估計（Robust Estimation）理論旨在構造某種估計方法，使其對于粗差具有較強的抵抗能力。它與經典的估計理論不同的是，穩健估計理論中討論的最優是在抗差的前提下的最優[3]。坐標系統轉換的實質是求解坐標系統轉換參數[4]。在平面直角坐標轉換中，較常用的是四參數的相似變換法，即2個平移參數、1個縮放參數和1個旋轉參數。在三維直角坐標轉換中，較常用的是較嚴密的七參數相似變換法，即3個平移參數，1個尺度比參數和3個旋轉參數。本文以算例探討了將粗差加入坐標觀測值中，幾種穩健估計方法之間以及與LS法對減弱或消除粗差的有效性比較，在觀測值中存在粗差的情況下，為合適地選擇參數估計方法提供了初步依據。

2.幾種常用的穩健估計方法

（1）Huber法[5]：

（2）Tukey法[6]：

（3） Danish法[1]：

（4） IGGIII方案[7，8]：

3.坐標系統轉換模型

3.1四參數坐標系統轉換模型

P坐標系統下坐標轉換到Q坐標系統下坐標的四參數模型為[9]：

式中：XP和YP表示P坐標系統下的坐標；XQ和XQ表示Q坐標系統下的坐標；x0、y0、k和α是P坐標系統轉換到Q坐標系統的坐標轉換參數，它們分別表示兩個平移參數、一個縮放參數和一個旋轉參數。

四參數坐標系統轉換算例如下：

本算例選取將一組北京54坐標轉化為西安80下的坐標中的5個重合點，其觀測數據見表1[10]。P、Q分別表示P、Q坐標系統下坐標的觀測值。由LS法求得中誤差約為± 0．3cm，i表示在第i個觀測值加入6cm（約為20倍的單位權中誤差由于算例中數據有限，加入10倍中誤差作為粗差，各估計方法減弱或消除粗差的效果不明顯，故選用20倍中誤差作為粗差）的粗差，j表示第j個觀測值加入6cm（同上）的粗差，g表示觀測值中加入粗差的個數。觀測值中加入粗差后改正數解算結果見表2、表3。

由于通常以三倍或兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值，本文中取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值。本算例中若含有粗差的觀測值的改正數大致落在v∈（5.1，6.9）cm范圍內說明估計方法在一定程度上檢測出了粗差，能有效減弱或消除粗差對平差結果的影響。

表1 五重合點四參數坐標系統轉換的觀測數據Tab.1 Observation data of four-parameter coordinate system transformation with five coincident points

表2 LS和不同穩健估計方法的改正數（四參數，5重合點，g=1）Tab.2 Corrections of LS and different robust estimation methods（four-parameter，five coincident points，g=1）

表3 LS和不同穩健估計方法的改正數（四參數，5重合點，g=2）Tab.3 Corrections of LS and different robust estimation methods（four-parameter，five coincident points，g=2）

將表2和表3中不同估計方法解算的改正數同值域v比較，可知在已知粗差大小和位置的情況下，當g=1時，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比LS法、Huber法更能有效地消除和減弱粗差對平差結果的影響；當g=2時，Danish法、IGGIII方案比Huber法、Tukey法、LS法能同時更有效地減弱或消除不同位置上粗差對平差結果的影響。

3.2七參數坐標系統轉換模型

P坐標系統下坐標轉換到Q坐標系統下坐標的七參數模型（Bursa模型）是[3]：

式中，XP、YP和ZP表示P坐標系統下的坐標；XQ、YQ和ZQ表示Q坐標系統下的坐標；x0、y0、z0、βx、βy和 βz分別是三個平移參數、一個縮放參數和三個旋轉參數。

七參數坐標系統轉換算例如下：

本算例選取三維小角度直角坐標轉換中6個重合點，其觀測數據見表4[11]。P、Q分別表示P、Q坐標系統下坐標的觀測值。由LS法求得中誤差約為±0.5cm，i表示在第i個觀測值加入5cm（約為10倍的單位權中誤差）的粗差，j表示第j個觀測值加入5cm（同上）的粗差，g表示觀測值中加入粗差的個數。觀測值中加入粗差后改正數解算結果見表5、表6。

同上個算例相同，取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值。本算例中若含有粗差的觀測值的改正數大致落在v'∈（3.5，6.5）cm范圍內說明估計方法在一定程度上檢測出了粗差，能有效減弱或消除粗差對平差結果的影響。

表4 六重合點七參數坐標系統轉換的觀測數據Tab.4 Observation data of seven-parameter coordinate system transformation with six coincident points

表5 LS和不同穩健估計方法的改正數（七參數，6重合點，g=1）Tab.5 Corrections of LS and different robust estimation methods（seven-parameter，six coincident points，g=1）

表6 LS和不同穩健估計方法的改正數（七參數，6重合點，g=2）Tab.6 Corrections of LS and different robust estimation methods（seven-parameter，six coincident points，g=2）

將表5和表6中不同估計方法解算的改正數同值域比較，可知在已知粗差大小和位置的情況下，當g=1時，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比LS法、Huber法能更有效地消除或減弱粗差對平差結果的影響；當g= 2時，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比Huber法、LS法能同時更有效地減弱或消除不同位置上粗差對平差結果的影響。

4.結語

本文通過算例研究了在四參數和七參數模型坐標系統轉換的觀測值包含粗差的情況下，通過分析比較穩健估計的Huber法、Tukey法、Danish法、IGGIII方案和LS法解算結果的改正數可知，在一定的條件下，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比Huber法、LS法能更有效地消除或減弱粗差對參數估計結果的影響。當粗差個數或位置改變時，穩健估計各方法對于減弱或消除粗差的有效性會有一定的改變，一般情況下，Danish法、IGGIII方案具有相對較好的有效性。究其原因，觀測數據的相關性、粗差存在位置、粗差個數、粗差的大小等可能是造成其有效性改變的影響因素。本文為坐標系統轉換如何選擇更恰當的估計方法提供了一定的依據。

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【11】楊仕平.整體最小二乘理論及其在變形監測中的應用研究[D].西南交通大學，2013：39-40.

王冠儒（1966年——），女，碩士，高工，畢業于太原理工大學，主要從事測量數據處理和實驗室管理。

P207

A

2095-7319（2014）03-0057-05

董巧玲（1988年——），女，碩士，太原理工大學測繪科學與技術系，研究方向為空間數據采集方法和數據處理。