關于二維連續型隨機變量函數分布的推廣和運算

劉 淼

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

關于二維連續型隨機變量函數分布的推廣和運算

劉 淼

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

本文從二維連續型隨機變量的聯合分布函數與聯合概率密度函數的關系入手，討論了二維連續型隨機變量四則運算的分布，并給出了求解函數分布的簡便方法。

連續型隨機變量；分布函數；密度函數

1 預備知識

定義1 對于二維隨機變量(ξ，η)，對任意實數x,y，稱函數F(x,y)=P{ξ≤x,η≤y}稱為(ξ,η)的分布函數，或稱為隨機變量(ξ,η)的聯合分布函數[1-2].

2 主要結果

定理2 設F1(x),F2(x),…,Fn(x)分別是n個分布函數，則存在不全為零的ai≥0,(i=1,…,n)，且當a1+a2+…+an=1時，F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+…+anFn(x)為某一連續型隨機變量分布函數．

證明 先任取一組不全為零的ai≥0,(i=1,…,n)，且有a1+a2+…+an=1.

根據條件F1(x),F2(x),…,Fn(x)均是分布函數，故F1(x),F2(x),…,Fn(x)都滿足非遞減、右連續等性質，且有F1(+∞)=F2(+∞)=…=Fn(+∞)=1，F1(-∞)=F2(-∞)=…=Fn(-∞)=0，

從而F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+…+anFn(x)非遞減且右連續，

又由于F(+∞)=a1F1(+∞)+a2F2(+∞)+…+anFn(+∞)=1，

F(-∞)=a1F1(-∞)+a2F2(-∞)+…+anFn(-∞)=0，

則由連續型隨機變量的分布函數定義的性質可得，一定存在不全為零的非負實數a1,a2,…,an且a1+a2+…+an=1，使得F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+…+anFn(x)為某一隨機變量的分布函數．

定理3 設F1(x),F2(x),…,Fn(x)是分布函數，則存在不全為零的非負連續函數a1(x),a2(x),…,an(x),…,x∈(-∞,+∞)，則a1(+∞)+a2(+∞)+…+an(+∞)=1，且a1(+∞)+a2(+∞)+…+an(+∞)=1，使得F(x)=a1(x)F1(x)+a2(x)F2(x)+…+an(x)Fn(x)為分布函數．

此定理的證明由定理2可直接推出.

根據定理4和定理5可知，對于x或y的單調函數可通過利用其中一個變量來替換另一個變量，進而將多重積分轉化成只對x或y的積分，使得整個積分過程變得簡單.根據上述定理，顯然有二維連續型隨機變量的和、差、積、商的分布分別為:

3 應用舉例

解 當ζ<0時，fζ(z)=0顯然成立.

所以f(U,V)(u,v)=fU(u)fV(v)，從而U,V相互獨立.

例3 設f(x,y)為二維連續型隨機變量(ξ,η)的聯合概率密度函數，且(ξ,η)相互獨立，令U=ξ-η，試求連續型隨機變量U的概率密度函數fU(u).

則根據定理1，有f(U,V)(u,v)=f(ξ,η)[x(u,v),y(u,v)]|J|=f(u+v,v)，又由于U=ξ-η，

[1]魏宗舒.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]李賢平.概率論基礎[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]唐小峰.連續型隨機變量獨立性的幾個充要條件[J].阜陽師范學院學報:自然科學版,2010(2):24-27.

[4]呂洪升,張千祥.二維連續型隨機變量相關計算的積分限確定問題[J].大學數學,2012(3):194-199.

[5]Barr,D.R.and Darling,D.A.,A.Kolmogorov-Smirnov Test for Gensored samples[J].Techn-ometrics,1999(15):739-757.

[6]Finklestein,J,M.and Schafer,R.E.Improved goodness of Fit Tests[J].Biometrika,2007(58):641-645.

The Promotion and Operation of the Function Distribution of the Two-dimensional Continuous Random Variable

LIU Miao

(School of Mathematics and Statistics，Yili Normal University, Yining Xinjiang 835000,China)

In this paper, we mainly discussed the distribution of two-dimensional continuous random variable four operation through the relation between distribution function and probability density function, and then researched the method of finding the function distribution of common two-dimensional continuous random variables.

continuous random variable; distribution function; density function

2013-12-07

國家自然科學基金項目(11161050)；新疆維吾爾自治區重點學科(基礎數學)開放課題(2012ZDXK09)；伊犁師范學院2012年一般科研項目(2012YB015)。

劉 淼(1976- )，男，山東鄆城人，伊犁師范學院數學與統計學院副教授，碩士生導師，從事概率論與數理統計研究。

O211

A

1008-178X(2014)01-0001-03