談物理解題中的方程與變量

趙曉慧

(營(yíng)口職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧營(yíng)口 115000)

談物理解題中的方程與變量

趙曉慧

(營(yíng)口職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧營(yíng)口 115000)

本文借用量子力學(xué)中“簡(jiǎn)并”一詞，取其化簡(jiǎn)合并含義，分析了在解物理問(wèn)題中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行觀(guān)察試探是否可以“簡(jiǎn)并”，若“簡(jiǎn)并”后方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，則該方程就一定有唯一解。對(duì)于含有循環(huán)變量的方程組也可進(jìn)行“簡(jiǎn)并”求解。

方程；變量；簡(jiǎn)并；循環(huán)變量

在解題過(guò)程中建立由m個(gè)方程、n個(gè)變量組成的方程組，這m個(gè)方程都是獨(dú)立的。若n=m，則方程組一定有唯一解；若n>m，則方程組有無(wú)窮組解，即沒(méi)有唯一解。在近年來(lái)的中考、高考試題中，多次出現(xiàn)“奇怪”的現(xiàn)象。即未知量的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，卻能得到唯一的結(jié)果。這正是我們要展開(kāi)討論的問(wèn)題：當(dāng)n>m時(shí)，雖然方程組沒(méi)有唯一解，但某個(gè)變量卻可能有唯一解。也就是說(shuō)，當(dāng)求解某一個(gè)物理量時(shí)，盡管有n個(gè)變量，只列出了m個(gè)方程(m

1 變量的“簡(jiǎn)并”與“簡(jiǎn)并度”[1]

例1 圖1為把量程為3mA電流表改裝成歐姆表的結(jié)構(gòu)示意圖，其中電池的電動(dòng)勢(shì)ε=1.5V。經(jīng)改裝后，若將原電流表3mA刻度處的刻度值定為零刻度，則2mA處應(yīng)標(biāo)____Ω，1 mA處應(yīng)標(biāo)____Ω。(1990年全國(guó)高考試題)

圖1 將量程為3mA電流表改裝成歐姆表的結(jié)構(gòu)示意圖

x1,x2,…,xn，n個(gè)變量m個(gè)方程(m

結(jié)論1 設(shè)由n個(gè)變量m個(gè)方程構(gòu)成的方程組可以被“簡(jiǎn)并”，若方程的個(gè)數(shù)加上“簡(jiǎn)并度”等于變量的個(gè)數(shù)，即m+λ=n，則方程組中沒(méi)有被“簡(jiǎn)并”的變量有唯一解。(設(shè)原方程組中各方程都是獨(dú)立的)

如例1中令R’=r+rg+Rx，則變量r、rg、Rx被“簡(jiǎn)并”，簡(jiǎn)并度λ=2。并滿(mǎn)足m+λ=2+2=n，因此變量R有唯一解。

例2 已知O、A、B、C為同一直線(xiàn)上的四點(diǎn)，AB間的距離為l1，BC間的距離為l2。一物體自O(shè)點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿此直線(xiàn)作勻加速運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)。已知物體通過(guò)AB段和BC段所用的時(shí)間相等。求O與A的距離。(2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一試題)

設(shè)物體的加速度為a，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度為v0,通過(guò)AB段和BC段所用的時(shí)間為t，則有

(1)

l1+l2=2v0t+2at2.

(2)

所求O與A的距離

(3)

由(1)、(2)、(3)組成的方程組有v0、a、t、l四個(gè)變量(n=4)，卻只有三個(gè)方程(m=3)，m

原因是：由(1)和(2)聯(lián)立，得

l2-l1=at2.

(4)

3l1-l2=2v0t.

(5)

注意(3)、(4)、(5)三式，有三個(gè)方程，有v0、a、t、l四個(gè)變量。

將(5)式兩邊平方，除以(4)式兩邊，得到

(6)

2 “同類(lèi)齊次變量”的簡(jiǎn)并

例3 質(zhì)量相等的三種不同的液體a、b、c，初溫分別為10℃、40℃、80℃，若將a、b混合后，溫度為30℃，將b、c混合后溫度為50℃，將a、c混合后溫度為多少？(設(shè)無(wú)熱損失)

本題可列出三個(gè)方程：

C1m(t1-ta)=C2m(tb-t1) ，

(1)

C2m(t2-tb)=C3m(tc-t2)，

(2)

C1m(t3-ta)=C3m(tc-t3).

(3)

其中有m、C1、C2、C3、tc五個(gè)變量。消去m后，仍有四個(gè)變量。

比熱容C1、C2、C3同時(shí)出現(xiàn)的每個(gè)方程的左右兩邊，具有同樣的量綱，又都是一次方，我們可以稱(chēng)為“同類(lèi)齊次變量”。其特點(diǎn)是：如果將這三個(gè)變量同時(shí)增大為原來(lái)的w倍(w為不為零的任意實(shí)數(shù)),方程組仍然與原方程組同解。可見(jiàn)這三個(gè)變量沒(méi)有唯一解[2]。如果把以上三個(gè)方程兩邊同時(shí)除以C1，則原方程組變?yōu)?/p>

令C2′=C2/C1,C3′=C3/C1，則四個(gè)變量簡(jiǎn)并為C2′、C3′、t3三個(gè)變量，t3有惟一解。當(dāng)然設(shè)C2′、C3′是不必要的。受本題的啟發(fā)，為了具有一般性，有如下情形。

在某方程組中，設(shè)有k個(gè)量綱相同的變量ui(i=1,2,3,…,k)，如果用αui(α是不為零的任意常數(shù))分別代換方程組中每一個(gè)ui后，方程組仍然成立，則稱(chēng)ui為同類(lèi)齊次變量。

結(jié)論2 如果某方程組是同類(lèi)齊次方程組(包括可以化成這樣的方程組)，則該方程組是可以簡(jiǎn)并的，簡(jiǎn)并度λ=1。若簡(jiǎn)并后滿(mǎn)足m+λ=n，則沒(méi)有被簡(jiǎn)并的變量有唯一解。

當(dāng)我們用“代入法”對(duì)例3中(1)、(2)、(3)組成的方程組求解時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后將同時(shí)消去兩個(gè)變量，剩下一個(gè)所求變量tc得到唯一解。由于在變量代換過(guò)程中變量Ci(i=1,2,3)循環(huán)出現(xiàn)在各式中，也可以稱(chēng)其為循環(huán)變量[3]。這樣，“同類(lèi)齊次變量”一定是循環(huán)變量。也可以說(shuō)，當(dāng)方程組中出現(xiàn)“循環(huán)變量”時(shí)，盡管變量數(shù)大于方程數(shù)，所求變量可能有唯一解。

圖2 測(cè)量液體密度方法

3 隱含的“循環(huán)變量”

在結(jié)論2中，若方程組中這些齊次變量不是同類(lèi)物理量，但如果將它們中的每一個(gè)變量都擴(kuò)大w倍(w為不為零的任意實(shí)數(shù))后方程組仍然同解，這些變量就是隱含的“循環(huán)變量”，雖然不是同一類(lèi)物理量，如果它們都是齊次的，方程兩邊同時(shí)除以m后同樣可以簡(jiǎn)并，因此所求變量有唯一解。

例4 歡歡利用小試管、螺母和細(xì)線(xiàn)制成一個(gè)“土密度計(jì)”，用圖2的方法測(cè)量液體的密度。“土密度計(jì)”在酒精(ρ酒精=0.8×103kg/m3)中靜止時(shí)露出液面的高度為2cm；“土密度計(jì)”在水中靜止時(shí)露出液面的高度為3cm；“土密度計(jì)”在硫酸銅中靜止時(shí)露出液面的高度為3.8cm。則此溶液的密度為_(kāi)____kg/m3。(2008年北京中考題)

本題可列出三個(gè)方程：

mg=ρ酒精g(V-h1S)，

(1)

mg=ρ水g(V-h2S)，

(2)

mg=ρ硫酸銅g(V-h3S).

(3)

其中有m、V、S、ρ硫酸銅四個(gè)未知量，但ρ硫酸銅仍有唯一解，原因在哪里？

注意到m、V、S這三個(gè)變量，如果將它們中的每一個(gè)變量都擴(kuò)大w倍(w為不為零的任意實(shí)數(shù))后方程組仍然同解。這三個(gè)變量是隱含的“循環(huán)變量”，雖然不是同一類(lèi)物理量，但它們都是一次的，方程兩邊同時(shí)除以m后同樣可以簡(jiǎn)并為2個(gè)變量，因此所求ρ硫酸銅有唯一解。解方程組時(shí)，一定能可以多消去一個(gè)變量。具體解法是：

由(1)、(2)兩式可得

ρ酒精(V-h1S)=ρ水(V-h2S).

代入數(shù)據(jù)，可得V=0.07S.

由(2)、(3)兩式可得

ρ水(V-h2S)=ρ硫酸銅(V-h3S).

解得

由于出現(xiàn)循環(huán)變量，最后一步同時(shí)消去V和S兩個(gè)變量。

本題簡(jiǎn)并度λ=1，方程數(shù)m=3，變量n=4,滿(mǎn)足m+λ=n。

4 結(jié)論

綜上所述，如果遇到方程的個(gè)數(shù)小于變量的個(gè)數(shù)的物理問(wèn)題時(shí)，可以用以下步驟去分析和解題。

第一，先觀(guān)察方程組是否可以被“簡(jiǎn)并”，如果能“簡(jiǎn)并”，且“簡(jiǎn)并”后方程的個(gè)數(shù)等于變量的個(gè)數(shù)(即m+λ=n)，則未被“簡(jiǎn)并”的變量有唯一解。第二，觀(guān)察方程組是否有“同類(lèi)齊次變量”或“循環(huán)變量”，如果有，則一定可以“簡(jiǎn)并”掉一個(gè)變量。若“簡(jiǎn)并”后方程的個(gè)數(shù)等于變量的個(gè)數(shù)(m+λ=n)，則未被“簡(jiǎn)并”的變量有唯一解。第三，對(duì)于隱含的可“簡(jiǎn)并”變量和“循環(huán)變量”， 應(yīng)當(dāng)通過(guò)觀(guān)察和試探善于發(fā)現(xiàn)這一事實(shí)。至少不要因?yàn)榉匠虜?shù)不夠而輕易放棄解答。第四，解“簡(jiǎn)并”后的方程組，即可解出所求變量。

[1]梁紹榮.量子力學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1987:64-65.

[2]陳紹林.線(xiàn)性代數(shù)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2011:80-94.

[3]譚浩強(qiáng).C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)[M].4版.北京:清華大學(xué)出版社,2010:78-88.

Discussion of the Equation and Variable in Physics

ZHAO Xiao-hui

(Yingkou College of Vocational Technology,Yingkou Liaoning 115000,China)

By taking the concise meaning of the word “degeneration” in quantum mechanics, the study analyzes if the equation can be degenerated when the number of the equation is less than the unknown number. If the number of the degenerated equation is equal to the number of the unknown number, the solution of this equation is unique. This method can also be used in the equation of cyclic variable.

equation; variable; degeneration; cyclic variable

2013-11-16

趙曉慧(1965- )，女，遼寧營(yíng)口人，營(yíng)口職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，從事電子技術(shù)教學(xué)與研究。

G642

A

1008-178X(2014)01-0140-04