非對稱系統的振動方程的響應求解

張 淼

(長春工程學院理學院，吉林長春 130012)

非對稱系統的振動方程的響應求解

張 淼

(長春工程學院理學院，吉林長春 130012)

解耦對稱系統的振動方程時，只需用右模態向量即可滿足正交性條件，對非對稱系統，討論其振動系統響應的求解算法，則需引入左模態向量。本文首先將二階非對稱阻尼系統的振動方程轉化為一階狀態方程形式，構造狀態矩陣的左、右狀態向量，然后利用左、右狀態向量的正交規范化條件解耦非對稱系統狀態方程，在簡諧激勵下化為一組可解的一階線性微分方程，最后采用積分因子法建立了這些一階線性微分方程的求解算法，從而獲得原非對稱二階系統的穩態響應。算法緊湊靈活，易于在大型工程結構動力分析中編程使用。

動力響應；狀態方程；解耦；非對稱系統

系統的運動方程總是在一定的坐標系中用坐標來描述的，設法使一組本來耦合的方程組，變為一組非耦合的方程組，使每一個方程中只有一個待求的坐標，每個微分方程便可獨立求解,稱為工程結構振動微分方程的解耦.把二階系統轉化為一階系統的目的是把模態向量與狀態向量聯系起來，這樣對狀態向量所做的運算均可平移到模態向量上來，同時轉化后原振動系統的特征分析也可化為一般矩陣的特征分析，更容易討論狀態向量的靈敏度等振動分析問題[1].

一個結構的動力特性可以用它的模態參數進行完整描述.這些模態參數可以從結構模型的質量、剛度和阻尼矩陣導出，也可以從測量出來的該結構的頻響函數中導出.模態參數可分為實模態參數和復模態參數，其主要的應用之一是用來進行多自由度振動系統的動響應分析.

對于經典阻尼系統，利用實模態參數即可獲得幾種等價的動力響應的解析解.而對非經典阻尼系統的研究一直是個難點.復模態參數包括復頻率及復模態，可用于直接解耦非經典阻尼系統，但其計算響應的過程相當復雜[2].如果將在N維空間中描述的非經典阻尼系統轉入2N維狀態空間中描述，利用復模態構造狀態向量，使用狀態向量對角化狀態矩陣來實現狀態方程的解耦，再把得到的響應解返至N維空間中，也可求得用復模態參數表達的非經典阻尼系統的響應解(解析解).但從狀態矩陣對角化的證明過程可知[3]，仍然需要兩個充分條件，一個是質量、剛度和阻尼矩陣必須對稱，另一個是各階復頻率必須全不相同.那么若在實際應用中遇到非對稱或重頻系統，即復頻率發生重復的系統，上述方法也將不再適用.本文針對有阻尼非對稱系統，利用復模態參數實現振動系統方程解耦，并獲得響應的解析解.

1 復模態參數

描述自由度為N的線性阻尼離散系統的自由振動方程為

(1)

相應地，其強迫振動方程為

(2)

(2)式中M,C和K∈RN×N分別為系統的質量、阻尼和剛度矩陣，它們為非對稱矩陣.結構有限元分析時，作拉普拉斯變換x(t)=ueλt=ueiωt(λ=iω)代入(1)式可得(λ2Mu+λCu+Ku)eλt=0.

考慮阻尼系統復模態參數(λi,ui)(i=1,2,…,2N)滿足方程

(3)

對于N自由度振動系統，特征方程det[λ2M+λC+K]=0有2N個呈復共軛對出現的特征值λ1,λ2,…,λ2N(λi∈C，其中λi+1為λi的共軛(i=1,3,…,2N-1))，稱為系統的復頻率.這些頻率對應著一組呈復共軛對出現特征向量u1,u2,…,u2N(ui∈CN，其中ui+1為ui的共軛(i=1,3,…,2N-1))稱為系統右模態向量(復模態).

2 非對稱系統的響應求解

由文獻[4]可知，解耦對稱系統的振動方程時，只需用右模態向量即可滿足正交性條件.但為解耦非對稱系統，必須引入左模態向量.

定義1 如果對vi∈CN，若滿足

(4)

稱為系統(1)的左模態向量，其中(·)H表示(·)的共軛轉置.

事實上由(3)和(4)式可知，當系統性質矩陣為對稱陣時，系統(1)的左、右模態向量是相同的，而本文所討論的是非對稱系統，左、右模態向量并不相同.

設

(5)

代入方程(1)，則該二階微分方程將轉化為如下一階微分方程：

(6)

其中

(7)

稱為系統的狀態矩陣.再作拉普拉斯變換代入(6)式，則有

且特征對(λ,u)同樣滿足(3)式，由此可知原系統(1)的振動特征問題轉化為狀態矩陣A的一般特征問題：

Ag=λg.

(8)

其中

(9)

稱為狀態矩陣A的右狀態向量，它的前N維構成振動系統(1)的右模態向量u.

記G=[g1g2…g2N]為右狀態矩陣.由于無論系統性質矩陣M,C和K∈RN×N對稱與否，狀態矩陣A需很強的條件才能保證對稱性，因此它的右狀態向量之間一般也不具有加權正交性，故有必要引入狀態矩陣A的左狀態向量.

定義2 對向量rK∈C2N，如果有

(10)

則稱rk(k=1,…,2N)為矩陣A的左狀態向量，其中

(11)

記R=[r1r2…r2N]為左狀態矩陣.由定義2可知左狀態向量也是由系統的左模態向量v構成的.如果系統為單頻系統，根據文獻[5]，左、右狀態向量在A加權的條件下是正交的，規范這些狀態向量可得它們的正交性關系為

RHG=E.

(12)

RHAG=diag(λ1,λ2,…,λ2N).

(13)

下面利用這些正交性來解耦非對稱系統的振動方程，來求解其響應的解析解.對方程(2)建立狀態方程

(14)

引入坐標變換

y(t)=Gq(t).

(15)

其中q(t)為模態坐標向量，將(15)式代入狀態方程(14)并左乘RH，則有

(16)

根據左、右狀態向量的正交性關系(12)和(13)式，有

(17)

其中{·}i代表向量{·}的第i維分量.若解出q(t)，然后代入(15)式獲得y(t)，由(5)式可知取前N維即為原二階系統(2)的響應x(t).現在考慮如何求解q(t).

對微分方程(17)式，為了表達方便，記λi=a,{q(t)}i=y(t),{RHf′(t)}i=b(t)，(17)式可表達為

y′(t)-ay(t)=-b(t).

eaty′(t)-aeaty(t)=-eatb(t).

即為

[eaty(t)]′=-eatb(t).

兩邊積分得

因此可解得

即

(18)

若考慮簡諧激勵下的強迫振動響應，那么{RHf′(t)}i中的各分量不是零，就是正弦函數，因此(18)式是一個關于正弦與指數乘積形式的典型分部積分問題，在數學的計算上不存在困難，具體結果視{RHf′(t)}i的形式而定.由(18)式便解得q(t)的所有坐標.

[1]張淼,于瀾,鞠偉.虧損振系廣義狀態向量靈敏度的移頻算法[J].計算力學學報,2013,30(6).

[2]Greco A,Santini A.Comparative study on dynamic analysis of non-classically damped linear system[J]. Structural Engineering and Mechanics,2002,14(6):679-698.

[3]李德葆,陸秋海.實驗模態分析及其應用[M].北京:科學出版社,2001,79-81.

[4]Ward H,Stefan L,Paul S.Modal Analysis Theory and Testing[M].Katholieke Universiteit Levven,Brussel, Belgium,1997:18-19.

[5]于瀾,張淼,鞠偉,等.非保守系統復模態的規范正交性及其應用[J].華南師范大學學報:自然科學版,2013,45(4):21-24.

Algorithm for Solving Steady-state Response of Asymmetric System

ZHANG Miao

(School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun Jilin 130012, China)

While decoupling the symmetric system, the right modes of system are enough to satisfy the orthogonal conditions. But in the presence of the asymmetric system it needs left modes of system to discuss the dynamic response. In this study, firstly, the second-order differential equations are translated into first-order ones called state equations. The state matrix left and right state vector is constructed. And then the left and right state vector decoupling asymmetric orthogonal normalization condition of system state equation is used. Under simple harmonic excitation into the solvability of a set of first order linear differential equation, the integral factor method is adopted to establish the first order linear differential equation of the algorithm, to obtain the original asymmetric second-order steady-state response of the system. Because the algorithm is compact and flexible, it can be programmed easily in the large engineering structure dynamic analysis

dynamic response; state equation; decoupling; asymmetric system

2013-11-19

吉林省科技發展計劃項目——青年科研基金項目(201201137)。

張 淼(1972- )，男，吉林長春人，長春工程學院理學院副教授，博士，從事結構優化及振動控制研究。

O32

A

1008-178X(2014)01-0007-03