基于垂直兩點法的電主軸回轉精度分析*

陸 峰，沈鴻波，張嘯飛，張麗秀，吳玉厚，張 珂

(沈陽建筑大學 交通與機械工程學院，沈陽 110168)

0 引言

眾所周知，先進制造技術是推動國家經濟發展、提高國家綜合競爭能力的重要手段。隨著高速、精密機床的發展，在金屬切削加工過程中，電主軸的回轉精度已經成為加工精度的關鍵因素［1-3］，它直接影響零部件的表面精度和形位公差［4］。電主軸回轉誤差的定義是指:主軸的實際回轉軸線相對于理想回轉軸線的相對位移［5］，因此電主軸的回轉誤差包括三部分:純軸向運動、純徑向運動和純傾角運動。而純軸向運動對于電主軸的回轉誤差幾乎沒有影響，所以本文所討論電主軸的回轉誤差只包括后兩種。

近幾年國內外有關主軸回轉誤差測量的技術研究較多。其中，Eric 等分別運用反轉法進行了納米級回轉精度測量，總結了電主軸回轉精度納米級測量中應該注意的問題［6］。Grejda Robert 等采用反向法誤差分離方法，使用納米級的自動反轉式氣浮轉軸進行圓度誤差測量，分離誤差的結果和多步法相比小于1nm［7］。而我國，沈陽機床的劉啟偉應用三個位移傳感器和一個轉速傳感器對車削加工中心主軸的混合誤差進行測量，并且利用最小二乘圓心的方法評定回轉誤差［8］。湖南大學李想通過對切削機床主軸的回轉精度測量，對三點法圓度誤差分離技術的參數選擇及形狀失真進行了綜合分析和優化［9］。本文對三點法的分離誤差的理論進行數學簡化得到垂直兩點法誤差分離理論。但是簡單的垂直兩點法無法將傳感器安裝的誤差分離出來，對于回轉精度不高的主軸可以忽略其影響。但是對于高回轉精度的精密電主軸，混入的形狀誤差或安裝誤差的影響是不可以忽視的，這些誤差有時甚至會掩蓋掉微小的電主軸回轉誤差，所以本文尋找有效的誤差分離方法將其從采集的數據中準確地分離出去。并結合實驗結果對影響回轉誤差的因素進行了理論分析。

1 測試系統原理及實驗方案

1.1 測試系統原理

兩點測量法是根據三點測量法將三個傳感器中的兩個傳感器合并，此時三點法就演化成兩點測量法。三點測量法的測量原理是使用三個同樣的傳感器按照一定角度垂直布置被測標準棒的同一截面上對主軸誤差進行測量。但是此方法要求三個傳感器安裝的位置精度高，所以給安裝調試造成麻煩，加大了實驗的成本，而且無論裝配人員的技術水平多好，都不可避免的帶來偏心誤差。因此為了降低測量裝置的安裝難度，所以選擇垂直兩點法進行測量，裝配容易，能很容易地測得電主軸混合誤差，并能夠分離出電主軸回轉誤差中混入的電主軸偏心誤差，從而直觀地顯示回轉誤差的軌跡圖。

1.2 實驗方案

圖1、圖2 分別回轉誤差測試的實物圖和二維圖，圖3 為測試系統的方框圖，在主軸的軸端位置安裝高精度的標準棒，把兩個非接觸式的傳感器(傳感器型號:LK-H0200、精度:0.001mm)按照垂直角度布置在同一垂直平面內，利用傳感器和標準棒之間的位移變化來檢測電主軸包括圓度誤差和回轉誤差的混合誤差信號。然后將傳感器采集到的數據導入電腦中，利用MATLAB 程序進行誤差分離的運算，將分離后的結果繪制成圓圖。

圖1 電主軸回轉誤差測試實物圖

圖2 電主軸回轉誤差測試裝置二維圖

圖3 測試系統框圖

2 垂直兩點法誤差分離模型

垂直兩點法分離誤差模型是根據三點法演化的，三點法圓度誤差分離技術是由日本學者青木保雄和大園成夫在1966 年提出來的，該方法利用頻譜技術把圓度誤差與回轉誤差分離開來。

如圖4 所示，為三點法［10］分離圓度誤差和回轉誤差的原理圖，以傳感器S0、S1、S2檢測軸線的交點O為坐標原點建立平面直角坐標系XOY。

設:r(θ)為被測零件在θ 處的圓度形狀誤差。x(θ)、y(θ)分別為測量回轉軸在θ 處回轉運動誤差在坐標系內XOY坐標軸上的分量，α、β 分別為傳感器S1、S2與傳感器S0之間的夾角［11］。測量時，傳感器固定，被測零件由回轉工作臺帶動其作回轉運動，設S0(θ)、S1(θ)、S2(θ)分別為傳感器S0、S1、S2的信號輸出，則可得三個傳感器中包含的數據為:

圖4 三點法分離誤差原理圖

引入傳感器的標定系數c0、c1、c2，則上面(1)、(2)、(3)式分別乘以c0、c1、c2得到:

根據(4)式展開，若要分離出圓度誤差r(θ)，則需要x(θ)、y(θ)前的系數為零，則得到:

此線性方程組有無窮多解，取c0=1 ，得到一組特解為:

當c1=0 時，傳感器S1的輸出信號在信號的加權中占有很小的比重，可以忽略不計。那么，三點法圓度誤差分離技術就演化成了垂直兩點法圓度誤差分離技術。(4)式就可以寫成:

將(7)式離散化得到:

對(8)式進行離散快速傅里葉變換(FFT)，得到:

Rf(n)為時域上電主軸的圓度誤差r(i)，Cf(n)為時域上圓度誤差和回轉誤差的混合信號;W(n)為權函數，如下:

當W(n)≠0 時，有:

對(11)式進行離散快速傅里葉逆變換(IFFT)，得到:

將(12)式代入(1)、(2)式可以得到:

因此根據(13)式可以得到X、Y兩個方向的回轉誤差x(θ)、y(θ)中包含著電主軸自身繞回轉軸轉動的運動誤差，記作δx、δy;兩個傳感器中心與電主軸回轉中心不同心帶來的偏心誤差，記作:Δex、Δey;則有下列關系式:

圖5 系統誤差消除原理圖

根據圖5 可知:

電主軸回轉中心到標準棒的表面距離的距離Lx為:

傳感器架的半徑r為:

則安裝偏心誤差Δex為:

由于X、Y兩個方向相差90°，因此Ly為:

3 測試數據分析

如圖1、圖2 所示的測量系統進行測量得到電主軸在(1000～20000)r/min 下X、Y方向的混合誤差，圖6、圖7 和 圖8 分 別 為7000r/min、10000r/min 和16000r/min 時的混合誤差。

圖6 7000r/min 混合誤差

圖7 10000r/min 混合誤差

圖8 16000r/min 混合誤差

利用推導出的垂直兩點分離誤差的方法，對混合誤差進行分離，得到除去圓度誤差和安裝偏心誤差后的回轉誤差，圖9a、9b、9c、9d、9e 和9f 對應的轉速分別是 1000r/min、3000r/min、5000r/min、7000r/min、10000r/min、16000r/min 和20000r/min 時的回轉誤差:

圖9 分離后的回轉誤差

為了驗證垂直兩點法分離誤差的正確性，使用高精度接觸式的千分表測量標準棒的圓度誤差，得到標準棒的圓度誤差(測量的位置是與傳感器測量的同一位置)，得到的測量結果為(0.001～0.005)mm 之間，而通過垂直兩點法分離出標準棒的圓度誤差如圖10所示，圓度誤差為(0.002～0.005)mm，這與測量結果基本一致，從而驗證了垂直兩點法分離誤差算法的正確性。由于去掉了一個非接觸式傳感器，使得測試系統安裝調試都更加方便，這是垂直兩點法最大的優點。

圖10 分離出的圓度誤差

經過垂直兩點法分離后并去除偏心后的不同轉速下電主軸的回轉誤差，如圖11 所示:

圖11 不同轉速下的回轉誤差

從分離后的結果可以看到，電主軸在(1000～3000)r/min 時的回轉誤差較大，因為電主軸在此轉速下為電主軸剛啟動時的轉速，電主軸由于慣性和低頻振動的原因導致回轉誤差在較低轉速時很大;當電主軸的轉速達到5000r/min 時，電主軸的回轉誤差減小;但是當電主軸轉速達到(6000～7000)r/min 時，回轉誤差又繼續增加，這是因為此時電主軸的轉速在慢慢的接近臨界轉速(n=8000r/min)，所以回轉誤差再增大;而在電主軸轉速在(7000～9000)r/min 之間時，電主軸有共振現象的產生，為了避免對電主軸和實驗設備的損壞，跳過了此轉速;電主軸轉速在10000r/min 以上時，回轉誤差減小而且趨于平穩，適合進行零部件的精加工。

4 結論

本文通過對三點法的簡化得到垂直兩點法分離誤差的數學模型，而且建立了去除安裝偏心的數學模型，彌補了垂直兩點法無法去除偏心信號的不足。運用垂直兩點法分離出電主軸的回轉誤差，得到了電主軸在各個轉速下的回轉誤差的精確值，并且分析了影響回轉精度的因素，這對在線監測電主軸的回轉誤差和控制電主軸的轉速提供了重要的理論依據。

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