基于元結構分析的三坐標加工單元立柱優化研究

鄒志華，鄭金來，喻道遠，周小強，張永杰

(1.華中科技大學 數字制造裝備與技術國家重點實驗室，武漢 430074;2. 江蘇高精機電裝備有限公司 技術中心，江蘇 鹽城 224053)

0 引言

立柱是三坐標加工單元的關鍵支撐部件，它底部連接機床底座，頂部支撐主軸箱、刀庫等關鍵部件，其動態性能關系到整個機床的工作性能，將直接影響到加工中心的穩定切削及加工精度，因此對其進行詳細的動態特性分析顯得尤為重要。

機床立柱內部加強筋的結構、布局等在很大程度上決定了機床立柱結構的動態性能，但往往由于立柱結構設計不合理，導致立柱的剛度不足，產生各種變形、振動［1］。合理地選擇和布置立柱內部加強筋是提高立柱剛度的一個有效措施。眾多學者對床身筋板結構進行了優化研究［2-8］。但是他們并未對在不同外形尺寸下何種加強筋動態特性更好做出明確研究，本文以立柱結構為研究對象，利用ANSYS 軟件對立柱進行動態特性計算分析，以立柱的固有頻率為優化目標，重點研究不同元結構單元的動態特性，得到不同尺寸大小下的最優元結構類型;最后以優選的元結構單元對立柱加強筋進行重新布置設計，獲得了動態性能更好的立柱結構。

1 立柱有限元模型

幾何模型是進行有限元分析的基礎和前提。本文采用Pro/E 軟件建立立柱的三維實體模型，然后將其轉換為CAE 模型，再導入ANSYS 進行動態特性計算分析。在建模過程中對結構進行了適當的簡化與修改，忽略模型中對分析結果影響較小的特征，如部分倒角、凸臺、小孔等［9］。圖1 為簡化后的立柱三維實體模型，圖2 為簡化后立柱的有限元網格劃分模型。

圖1 立柱三維實體模型

圖2 立柱有限元網格劃分模型

2 立柱結構的有限元模態分析

2.1 模態分析理論

模態分析是用來研究結構振動特性的重要手段，通過模態分析能夠確定復雜結構的振動形態和薄弱環節。模態是系統結構的固有特性，與外載荷無關，進行模態分析時，不需要設置外載邊界條件;由于阻尼對結構的固有頻率和振型影響很小，所以不考慮系統阻尼的影響。對于一個n自由度的無阻尼振動系統微分方程可表示為:

式中:［M］、［K］分別為結構的總質量矩陣和剛度矩陣;{f(t)}為外激勵矩陣，這里為零矩陣;{x}、{¨x}分別為物理坐標系下結構的位移向量和加速度向0 量。式(1)的特征值方程為:

求解特征值方程式(2)就可以得到ω 和{x}，即系統的固有頻率和主振型;解此方程得ω 的m個互異正根，ω0i(i=1，2，3…，m)，并按升序排序，

第i階固有頻率:

各階固有頻率f0i均與成正比，f0i大，說明單位質量的剛度高，可作為結構動態設計的一個優化目標。固有頻率與主振型是振動系統最基本的固有屬性，不會隨意改變，只有在被激勵時才表現出來。

2.2 立柱結構模態分析

立柱在實際工作中并非處于自由狀態，而是和機床連在一起，處于約束狀態，根據立柱的實際工作狀態，可認為立柱底端發生的位移量很小近似于零，可對立柱的底端施加X、Y、Z三方向的自由度約束。在理論與實踐中發現，結構的低階模態對結構的振動影響較大，只有低階模態的頻率才有可能與激振頻率重合或接近，高階固有頻率已遠高于可能出現的激振力頻率，一般不會發生共振。立柱材料為灰鑄鐵HT250，彈性模量E= 1. 15GPa，泊松比μ = 0. 265，密度ρ =7100kg/m3。綜合分析各種模態提取方法的特點［10］，本文采用Block Lancozos 法求解立柱模型的固有頻率和振型，得到立柱的前6 階固有頻率列表如下表1 所示，前6 階振型如圖3 所示。

表1 立柱模態頻率

圖3 立柱的各階振型圖

綜合立柱前6 階的模態頻率及振型進行對比分析知:其一階模態陣型是沿立柱Z軸方向的來回振動，立柱由下到上振動的幅度不斷增強，最大振幅發生在立柱的頂部;二階模態陣型為立柱整體繞Y軸的扭轉振動，振幅最大值發生在立柱頂部的四個角上;三階模態為立柱沿X方向的來回振動;四階模態為立柱沿Z方向的膨脹擠壓振動，對立柱結構有很大的破壞性;五階、六階振動頻率相差較小，陣型均為向Z方向的彎曲振動。立柱兩側的壁板的扭轉振動及彎曲振動比較大，是立柱結構中比較薄弱的環節，同時立柱的振動勢必會將影響與之相連的機床底座和主軸箱等部件，影響加工質量，應當引起重視并加以改進。

3 立柱結構的優化分析與改進

3.1 元結構單元動態特性分析

元結構的基本思想是把機械結構大件就其組成形體進行分解，最終得到一些拓撲結構變化不大、相對獨立的基本單元結構，其單元結構特性會影響到整個結構特性的優劣。若從動態設計角度優化這些元結構，能得到其變量化的優化尺寸參數;若以固有頻率和振型為目標優化這些元結構，能獲得元結構的合理的尺寸模型，供快速設計選用。通過立柱模態分析可知，立柱兩側壁板對其動態性能有很大的影響，可以通過改變立柱加強筋的布置方式，來提高其動態特性。

立柱加強筋縱橫交錯，由口字型結構重復排列構成，即口字型結構為立柱的元結構單元。現以構成立柱加強筋板結構的一個元結構單元為研究對象，將其簡化為由板單元圍城的六面體結構。常用的4 種立柱加強筋元結構形式如圖4 所示。形式1 為加強筋交叉布置的的十字型;形式2 為加強筋交叉布置的X 型;形式3 為加強筋交叉布置的星型;形式4 為加強筋交叉布置的米字型。元結構的尺寸設置如下:長度L=300mm，寬度B=300mm，厚度T1 =20mm，加強筋厚度T2 =50mm，加強筋寬度b1 =15mm，b2 =2b1 =30mm，針圖示形式的元結構進行有限元計算分析，元結構單元四周固定(約束條件)，計算出各單元的低階振動頻率，下表2 為上述元結構單元的前6 階固有頻率。

圖4 各種元結構單元

表2 各種元結構單元的固有頻率(單位:HZ)

為了更直觀地看出元結構單元對固有頻率的影響，下面就把第一階頻率變化曲線圖給出，如下圖5 所示，橫坐標是元結構單元類型，1:空白型，2:十字型，3:X 字型，4:星字型，5:米字型;縱坐標是元結構單元的固有頻率(單位:Hz)。

比較圖表中的模態分析結果知:在上述尺寸形式下十字型、米字型的前6 階固有頻率較高，動態性能較好，星字型次之，X 字型動態性能最差;X 字型結構看上去較十字型更穩定，但是其動態特性卻不一定較好，其一階固有頻率也由3817.1Hz 下降到3096.2Hz;十字型和星字型相比，后者雖然增加了一條加強筋板，表面看是增加了它的剛度和強度，但其固有頻率并未隨之提高，一階固有頻率由3817.1Hz 下降到3495.1Hz，可見星字型雖然其布局較緊湊，其動態性能未必就理想，這說明盲目地增加加強筋數量，并不一定能提高其固有頻率。

圖5 一階固有頻率變化曲線

3.2 元結構單元邊長比與固有頻率的研究

為了使元結構分析應用于復雜結構的設計中，對構造參數化元結構模型進行分析:改變元結構單元中L和B的比值，研究相應的元結構單元的固有頻率的變化規律。以L/B的比值為橫坐標，元結構單元的一階固有頻率為縱坐標，可繪制如下圖6 所示的變化曲線。

圖6 元結構單元一階固有頻率隨L/B 值的變化曲線

分析曲線可知，隨著L/B的增加，其一階固有頻率呈下降的趨勢，并且下降趨勢逐漸變緩，單元大的邊長比不利于提高其動態特性;總體來看十字型、米字型和星字型有較好的動態特性，X 字型的動態特性較差;當L/B的比值大于2.2 時，X 字型元結構單元的固有頻率比沒加筋板的原始結構的更低，說明在結構設計中不能盲目的增加加強筋;隨著L/B的比值增大，十字型和星字型的動態特性越來越好，在L/B大于1.6后，十字型的元結構動態特性甚至比米字型的動態特性還好，十字型具有較優的動態特性;在L/B大于2.0時，星字型的元結構單元動態性能也比米字型的動態特性好，增加加強筋的數目不一定能提高結構的固有頻率;當L/B比值大于3.4 時，原始的空白結構單元動態性能比米字型單元的要好;當L/B值大于3.8 時，原始的空白單元的動態特性甚至超過了星字型，說明增加加強筋不僅不能提高結構的一階固有頻率，反而使結構的動態特性變差，因此在元結構單元邊長比L/B的比值要小于3.4 較為合理。

3.3 立柱優化研究

當L/B大于1.6 以后，十字型加強筋的元結構單元為該比例尺寸下的最優元結構類型，并且相比較米字型結構而言質量更輕、更經濟;原始的立柱結構中元結構單元L=390mm，B=235mm，其比值L/B為1.66，在不明顯改變原有立柱結構基礎上，十字型單元為選擇的最優單元，以此元結構單元為基礎對立柱進行優化設計，下表3 是利用元結構單元優化前后的立柱固有頻率(注:A 方案是原始的立柱結構;B 是以X 字型元結構單元優化后的立柱;C 以十字型元結構單元優化后的立柱)。

圖7 基于X 字型、十字型單元優化后立柱結構

表3 立柱固有頻率(單位:Hz)

經過優化后立柱的一階固有頻率得到了提高，其中X 字型的只提高了3.62%，而十字型的提高了5.45%，與元結構分析的數據吻合，說明通過優化元結構單元來提高立柱的固有頻率是可行的。

4 結論

機床立柱采用合理的加強筋結構，既能減輕了立柱的重量，又能保證必要的剛度，有利于提高動態性能。元結構單元的長寬比(L/B)對其固有頻率有很大的影響:當L/B的值小于1.6 時，米字型的元結構單元具有最好的動態特性;當L/B的值大于1.6 時，十字型的元結構單元具有較優的動態特性;當L/B的比值增大時，星字型元結構單元的動態特性變好，而X 字型元結構單元的動態特性則較差;星字型結構和十字型結構相比，雖然它較十字型的元結構單元多了一條加強筋，但是其動態特性確并沒有變好，盲目設置多根筋板并不一定有利于結構動剛度的提高。總的來說，十字型元結構單元具有較好的動態特性，應該優先進行選擇。對比基于元結構單元的立柱結構優化前后的固有頻率變化可知，其一階固有頻率提高了5.45%，說明改變筋板的布置形式來提高機床動態性能是可行的。

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