對水面波教學中常見謬誤的澄清

王文濤

(江蘇省鎮江第一中學 江蘇 鎮江 212000)

1 問題的提出

在人教版《物理·選修3-4》教材“機械波”章節中，經常選用水波來演示機械波的特性，比如折射、衍射、干涉等．但是學生對于水面波有一些常見的誤解，甚至有些教師也有常見的一些謬誤，比如從直觀來看水波的外觀非常類似于典型的橫波，所以很多學生認為水面波是橫波．也有學生認為水面波的形狀是正弦波等常見的謬誤．教材中也有些表述未加說明，如水波波速與水深度有關．這些認識不加以澄清，必定會影響學生對于水面波的正確理解，下面從水面波的產生機理出發來澄清這些常見的謬誤．

2 水面波的產生機理及特點

水面波的形成與水的物理特性必然有聯系，水的特性是具有流動性和極小的壓縮率．另外，水作為液體還要考慮表面張力的影響．假設水面處某位置受到外力作用豎直向下運動，由于水可以流動，被擠壓的水必然向兩側移動，由于水較難被壓縮，這些水就會堆積在被擠壓的兩側形成隆起的波峰．同時，隆起的水在到達一定高度后，由于重力的作用將會填回波谷的區域．考慮水中的每個微元將沿水平方向及豎直方向回復到初始位置．因此，水微元既要縱向振動，同時又豎直方向上下振動．質點的運動近似可以看做是水平和豎直方向簡諧運動的合成，其合運動一般為橢圓．在水面比較深的情況下，質點的合運動可以進一步近似為勻速圓周運動[1]．如果水面波的波長較長，水面波的曲率半徑較大，表面張力作用力較小，可以忽略不計．這種情況下可以不考慮表面張力，那么水面波上各質點的回復力為重力的分力．隨著水的深度增加，其下層水的運動逐漸減弱，因此若簡單分析水波只要分析水面上質點運動即可．

3 幾個常見謬誤的澄清

3.1 水面波是不是橫波

機械波分為兩大類：橫波和縱波．橫波和縱波的產生都是振動在介質中的傳播過程形成的．橫波是介質粒子振動方向和波行進方向垂直的一種波．縱波是在傳播介質中質點的振動方向與波的傳播方向平行的一類波．從介質的性質來看橫波的產生需要介質可產生沿垂直傳播方向的彈力，縱波只需要介質可產生沿傳播方向的彈力．通常固體一般在沿傳播方向和垂直傳播方向這兩個方向上都可產生彈力，而液體和氣體只可在沿傳播方向可產生彈力．所以，固體介質可以傳播橫波和縱波，而液體和氣體介質只能傳播縱波．

由于水是液體，根據前述可以推知水中只能傳播縱波．比如聲波在水中的傳播實際上就是水中的縱波，因此教材中的水波雖然外觀有波峰和波谷，但不可能是橫波．水面波的外形明顯與縱波不同，只是形狀上有點類似橫波．根據前述的分析可知，水面波的振動質點是水面質點，其振動方向和波的傳播方向既不垂直也不平行于波的傳播方向，所以水面波顯然是不同于橫波和縱波的一種較為復雜的機械波．

3.2 水面波的形狀是不是正弦波

水面波從外觀看非常像正弦波，但既然已知水面波的形成規律，那么逐點描繪出波傳播過程中某瞬間水面上每個質點的位置，即可得到水面波的形狀．更直接的方法是根據水面波傳播的特點，直接建立水面波曲線的數學方程來判斷．

圖1

如圖1，設水面未振動時的初始位置為平衡位置，取開始振動的第一個質點的運動軌跡圓心(也就是其平衡位置)為坐標原點，距離原點為x′處的質點勻速圓周運動轉過的角度為θ，設質點繞平衡位置做勻速圓周運動的角速度為ω，則該質點的坐標為

x=x′-Asinθ

(1)

y=Acosθ

(2)

設水面波的波長為λ，則

而θ=ωt可以得到

(3)

利用Maple可以做出此參數方程代表的曲線.

在Maple輸入如下指令：

>y:=t→A·cos(ω·t)(建立y方程)

>A:=3(設A為3)

>ω:=2*Pi(設ω為2π)

>l:=30(設λ為30)

>plot([x(t),y(t),t=0..1.5],scaling=CONSTRANED)(繪制xy所代表的的曲線)

可作出曲線圖像如圖2所示.

圖2

3.3 水面波傳播速度是否只與深度有關

選擇水面波上的一個質點進行研究．由于根據前述研究，可知質點相對于地面的運動為豎直面內的勻速圓周運動．設某質點運動到最高點，不考慮水的表面張力帶來的附加作用力，僅由重力提供向心力，根據圓周運動規律可得

mg=mvω

(4)

代入可解得

ωv=g

(5)

而水面波的波速

(6)

可解得

(7)

代入上式可得水面波波速為

(8)

根據式(8)可以看出，水面波的波速與波長有關，而與水的深度h無關．但此式成立的條件是水的深度足夠大，即水面波的波長λ?h．在人教版3-4教材中，演示機械波在不同介質的折射，利用的是在不同深度的水中水面波的波速不同而設計的，其中特別說到水深越淺波速越小．顯然由式(8)并不能得到此結果．比較課本中的演示實驗與本處推導的區別，明顯可以看出課本中波長較長而水深較小，即

λ>h，由于水面質點的運動受到水底部的影響，水面質點的運動不能再被看做為勻速圓周運動，根據文獻[1]可知，當水波波長大于或接近水深時波速公式變為

此時水面波波速只與深度有關，深度越淺波速越小．由此可以得出并非任何情況下水面波的波速只與深度有關，只有滿足水面波長λ>h時，波速才隨著深度的減小而減小．在教材列舉的演示實驗中，水波的波長一般大于水深，滿足淺水波的條件，所以其波速只與深度有關．

4 總結

綜上所述，一些常見關于水面波的謬誤得以澄清：水面波不是橫波，其產生是水的表面張力和重力共同作用的結果；水面波的形狀雖然有些類似于正弦波，但不是正弦波形；水面波的波速在深水情況下與波長λ有關，淺水情況下與水深h有關．教師也要在教學中要適時提醒學生，給他們科學的、正確的知識，以免讓謬誤誤導學生．

參考文獻

1 張建華,欒蓉.水中表面波的力學分析.大學物理，1994(13)

2 吳秀芳.水面波的幾何結構及色散關系.大學物理，1989(11)