再議2011年山東高考理綜卷第22題的定量解答

謝 佳 劉洪慶

(仁懷市酒都高級中學 貴州 仁懷 564500)

貴刊于2013年第6期刊發了“2011年高考山東理綜卷第22題的定量求解”一文，筆者有幸研讀后，感覺原文作者并未實現真正意義上對選項D的定量求解分析，于是產生了再議該題定量解答的想法．

1 原題和原作者解答簡述

1.1 原題

題目：(2011年高考山東卷第22題)如圖1所示，兩固定的豎直光滑金屬導軌足夠長且電阻不計．兩質量、長度均相同的導體棒c和d，置于邊界水平的勻強磁場上方同一高度h處．磁場寬為3h，方向與導軌平面垂直．先由靜止釋放c，c剛進入磁場即勻速運動，此時再由靜止釋放d，兩導體棒與導軌始終保持良好接觸．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的動能，xc和xd分別表示c和d相對釋放點的位移．圖2中正確的是

圖1

圖2

1.2 原作者解答簡述

令d棒下落高度分別為h和2h時速度分別為v1和v2，則有

當c棒剛進入磁場時，合力為零，則有

由上述分析可得

(1)

又

則

(2)

由于v2>v1，故c棒離開磁場后(c棒出磁場時，d棒下落至2h處)，d棒所受安培力大于重力，d棒減速．令d棒離開磁場前任意時刻的速度為vt，加速度為a，則有

所以

(3)

由式(1)、(2)、(3)可得

(4)

由于d棒在磁場中受安培力作用后，加速度減小，根據平均速度和勻變速運動知識有

(5)

(6)

整理式(6)可得

解不等式得

其中一解不合題意舍去，即可得

2 定量解答再分析

從原作者的解答看，通過對速度的分析則判定出d棒的動能Ek和下落高度h之間的函數圖像必然正確的觀點值得商榷．筆者認為，這樣的分析并不能給出佐證選項D正確的充分理由，更不能說明d棒從2h下落至4h過程中動能Ek與下落高度h之間的函數圖像為什么是選項D中所呈現的圖像.鑒于此，現對選項D做如下的定量回歸分析．

2.1 尋找速度v與時間t的定量關系

令豎直向下為正向，d棒從2h下落至4h過程中任意時刻的加速度和速度分別為a和v，c和d的總電阻為R，則有

(7)

因此有

積分可得

ln(g-Av)=-At+C

(8)

當t=0，v=v0則

C=ln(g-Av0)

所以有

整理上式可得速度v與時間t的定量關系

(9)

2.2 尋找位移x與時間t的定量關系

令d棒下落過程中開始受安培作用的初位置為位移起點．根據式(3)可得

(10)

由式(10)有

積分可得

(11)

當t=0，x0=0，則

因此可得位移x和時間t之間的定量關系

(12)

2.3 原文作者定量分析回歸

(13)

整理式(13)可得超越方程

(14)

解超越方程得

t=0.776 46 s

將t=0.776 46 s代入式(9)可得，d棒離開磁場時的速度v=1.19g．而c棒剛進入磁場時的速度

2.4 動能Ek與位移x函數關系的定量分析

(15)

(16)

表1 動能Ek對應數據

由表1中動能Ek與位移x的對應數據，利用Excel工具處理數據可得圖3．

圖3

從圖3可看出動能Ek與位移x的對應關系與D選項給出的d棒從2h運動至4h過程中函數關系圖像吻合．結合圖像，猜想d棒從2h運動至4h過程中動能Ek與位移x滿足

Ek=Ek0e-bx

(17)

根據表1中動能Ek與位移x的對應數據，結合式(17)可得表2．

表2 動能Ek與位移x對應數據

在數據處理誤差允許的范圍內，可近似認為系數b為一定值，即b=0.037，猜想成立，則可得動能Ek與位移x之間的定量關系

Ek=Ek0e-0.037x

(18)

通過對上述定量關系的分析，充分佐證了選項D給出的函數圖像的正確性，實現了真正意義上數理定量分析的良好愿望．本文是筆者的個人見解，希望讀者再次求證．