利用運動模擬繪制點電荷的電場線和等勢線

曹 盼(安塞縣高級中學(xué) 陜西 延安 717400)

電場線和等勢線是電場和電勢的形象化表示，在研究電學(xué)問題中具有重要意義.隨著計算機的普及，對精確繪制電場線和等勢線有了不少研究[1，2]，不過大都站在大學(xué)物理的理論之上，這里試圖站在高中物理的基礎(chǔ)上進行繪制.

本文的核心思想是根據(jù)“電場線上某點電場的方向和該點的切線方向相同”，將問題轉(zhuǎn)化為物體的運動.

1 繪圖根據(jù)

根據(jù)電場線上某點電場的方向和該點的切線方向相同，可知在平面上某點P有

(1)

變形得

(2)

令式(2)等于dt，有

(3)

(4)

此兩式就是我們模擬繪制電場線的基礎(chǔ).

(5)

(6)

圖1 場的疊加

選擇一個初位置，根據(jù)式(5)、(6)計算物體的速度，然后在“足夠短一段時間dt內(nèi)”按勻速直線運動計算末位置，用直線連接初末位置即為一段電場線(位移、速度和電場方向相同)，從新的位置開始重復(fù)計算、繪圖直到一個合理的結(jié)束條件.

1.1 選初位置

初位置在原則上除了點電荷所在處可以自由選取，但我們不可能在整個區(qū)域都畫滿電場線，因此電場線的繪制是科學(xué)和藝術(shù)的綜合.另外對稱的東西要盡量對稱地去處理，不要隨意破壞任何自然的對稱性.由于點電荷的電場線分布是對稱的，我們選擇從半徑為R的圓上開始(左邊逆時針旋轉(zhuǎn)右邊順時針旋轉(zhuǎn)).當(dāng)初位置選好后，由式(5)、(6)兩式可知，速度有時為正有時為負(fù)，因此物體有時向外走，有時向內(nèi)走.實際的電場線應(yīng)該是兩個方向都有，為了繪制完整，既要正著走一次(代入dt)也要倒著走一次(代入-dt).

1.2 結(jié)束條件[3]

在4種情況下應(yīng)該結(jié)束：

(1)速度太小(設(shè)置一個下限eps)；

(2)重復(fù)次數(shù)太多(增加一個計數(shù)器變量counter)；

(3)進入點電荷內(nèi)部(將點電荷限制在一個小圓之內(nèi)，半徑取R)；

(4)走出可見區(qū)域(這里選擇一個矩形).

1.3 算法描述

下面給出C/C++語言描述的繪制一條電場線的主要算法片段.

第1步：聲明變量eps,R,R0,r1,r2,counter,t,vx,vy,x1,y1,x2,y2;

第2步：給變量賦值eps=1e-16,R=0.4,

R0=2,counter=0,t=0,x1=x0,y1=y0;//初位置x0,y0和足夠短時間dt通過參數(shù)傳入

第3步：對于每一步計算：

vx = q1*(x1+R0)/pow(sqrt((x1+R0)*(x1+R0) + y1*y1),3) + q2*(x1-R0)/pow(sqrt((x1-R0)*(x1-R0) + y1*y1),3);//計算水平速度

vy = q1*y1/pow(sqrt((x1+R0)*(x1+R0) + y1*y1),3) + q2*y1/pow(sqrt((x1-R0)*(x1-R0) + y1*y1),3);//計算豎直速度

if((vx*vx + vy*vy) < eps) break;//速度太小提前退出第3步

x2 = x1 + vx*dt;//計算末位置

y2 = y1 + vy*dt;

if(x2 > width/2 || x2 < -width/2 || y2 < -height/2 || y2 > height/2) break;//走出可見區(qū)域提前退出第3步

調(diào)用pdw.pLine(hDC,x1,y1,x2,y2);[4]繪制一條直線

更新時間、位移和計數(shù)器t += dt;s2 = s1;counter++;

r1 = sqrt((x2 + R0)*(x2 + R0) + y2*y2);//計算物體離左邊電荷的距離

r2 = sqrt((x2 - R0)*(x2 - R0) + y2*y2);//計算物體離右邊電荷的距離

第4步：當(dāng)r1 > R && r2 > R && counter < 60000即物體沒有進入點電荷內(nèi)部且重復(fù)次數(shù)沒有達到上限時重復(fù)進入第3步.

1.4 等勢線畫法

由于等勢線和電場線垂直，只要將式(1)改成

則式(3)、(4)變?yōu)?/p>

即可.由于等勢線關(guān)于y軸對稱，將初位置選在y軸上(兩個點電荷除外),同樣使物體正著和倒著各走一次.如果開始向上運動(即v0y*dt>0),只要y>0就一直計算和繪圖；如果開始向下運動(即v0y*dt<0),只要y<0就一直計算和繪圖.另外要注意不要重復(fù)太多或走出可見區(qū)域.

2 繪圖舉例

可見區(qū)域統(tǒng)一取-8≤x≤8,-6≤y≤6,為簡化計算取k=1，dt=0.01.

(1)q1= 4,q2= 1，如圖2.

圖2 q1∶q2=4∶1

(2)q1= 4,q2= -1，如圖3.

圖3 q1∶q2=4∶-1

(3)q1= 2,q2= 2，如圖4.

圖4 q1∶q2=2∶2

(4)q1= 2,q2= -2，如圖5.

圖5 q1∶q2=2∶-2

3 一點討論

關(guān)于電場線和等勢線的意義，麥克斯韋在《電磁通論》中指出，“如果我們被要求估計形狀給定的一些物體的帶電情況，我們就可以從等勢面的形狀和所給物體形狀相近的某一事例開始，然后我們可以利用嘗試的辦法來改動問題，直到它和所給的情況更近似的對應(yīng).這種方法從數(shù)學(xué)觀點看來顯然是很不完善的.但這卻是我們所具備的唯一方法，而且，如果不許我們選擇自己的條件，我們就只能對電分布進行一種近似的計算.因此，看來我們所需要的，就是在我們所能收集和記住的盡可能多的不同事例中關(guān)于等勢面和電場線之形狀的知識[5]”.因為靜電平衡后導(dǎo)體表面是一個等勢面，通過改變電荷的比例可以得到不同的等勢面形狀，這樣就可以通過多次嘗試獲得一些問題的近似解.

繪圖采用的模擬法不是真實的運動，我們找不到改變運動的合力(加速度)，只是從切線導(dǎo)出的一個等價關(guān)系，實際上物體要沿電場線運動是很困難的.當(dāng)場源為負(fù)電荷時，根據(jù)“兩個方向都走”的策略很容易畫出電場線，但當(dāng)兩電荷量不相等時會造成很多重復(fù)．文獻[2]提出電場線補足的想法，但通過試驗筆者卻發(fā)現(xiàn)當(dāng)大電荷量增大時，小電荷量收到的電場線條數(shù)很快就超過預(yù)期值(只是不均勻分布而已)，那么補足的意義何在？因此，除了兩電荷量相等之外本文沒有考慮接收電場線的一方發(fā)出電場線的情況，在這種情況下會對“電荷量和電場線條數(shù)成比例”造成一定的破壞，但整體還是符合要求的．

參考文獻

1 劉耀康.用計算機繪制點電荷對的電場線.大學(xué)物理，2005,(8)59～60

2 石鵬，馬鳳翔.VC++實現(xiàn)點電荷電場線與電勢線的繪制.物理與工程，2013(3)：61～64

3 Harvey Gould,Wolfgang Christian.An Introduction to Computer Simulation Methods:Applications to Physical Systems(3rd ed).北京：高等教育出版社(影印)，2006.369～377

4 曹盼.C/C++在分析小氣球運動中的應(yīng)用.物理教師，2013，(12)68～69

5 (英)麥克斯韋著.電磁通論.戈革譯.北京，北京大學(xué)出版社，2010.114～116