環套小球在復合場中運動規律研究

李有福 張金榮 劉婧華

(個舊市第一高級中學 云南 紅河 661000)

1 題目場景

A.小球能運動到c點，且此時所受洛倫茲力最大

B.小球能運動到e點，且此時所受洛倫茲力最小

C.小球從a點運動到b點，重力勢能減小，電勢能增大

D.小球從b點運動到c點，電勢能增大，動能先增大后減小[1]

圖1

2 小球做部分圓周運動時速率與加速度大小變化研究

本題重點考察小球運動中各力做功以及合力做功使得小球所受洛倫茲力何處為最值問題，難度不是很大.但是難度相對較大的小球會做何種運動和在整個運動過程中的速率、合力、加速度隨時間如何變化等問題并未涉及.下面先找到等效位置的最低點，由qE=mg前提條件，可知圓弧bc中點f是平衡位置，是等效最低點，然后利用“仿真物理實驗室”來解決上述問題.為便于研究將本實驗中各參數設為M=1 kg，q=1 C,E=10 N/C,g=10 m/s2,B=10 T，環半徑r=1 m.

2.1 小球從a點靜止釋放(最大擺角135°)

點擊“運行”→“試驗數據曲線”出現“試驗數據曲線”對話框，通過對框內的坐標變量進行設置，可獲取小球運動過程中的速率、加速度大小隨時間變化的關系圖如圖2所示.

2）壓水施工：各次序灌漿孔在灌漿前采用自上而下分段卡塞、簡易壓水施工；灌前測試孔及灌后檢查孔采用自上而下分段卡塞、單點法壓水施工。

圖2

由實驗發現小球從a點靜止釋放運動到d點靜止，隨后在ad間重復運動；結合圖2可得小球單程運動中速率與加速度的大小都隨時間呈半波形的周期性變化，增減步調相同且最大值都出現在圓弧bc的中點上，速率最大值為6.95 m/s，而加速度大小最大值為48 m/s2.

從a→b點

從b→c點

從c→d點

利用MATLAB繪制a→b點、b→c點、c→d點的at和an隨θ的關系圖，如圖3所示.根據加速度大小增減趨勢是由切向加速度的大小和法向加速度的大小中較大者決定，結合3幅圖，即可驗證加速度的大小從a點至bc中點f過程中一直增加，而從f點至d點過程中一直遞減，在f點上取得最大值.

圖3 at和an隨θ變化關系圖

2.2 小球從b點靜止釋放(最大擺角45°)

由實驗發現小球至c點靜止，隨后在圓弧bc間重復運動，小球運動過程中的速率、加速度的大小隨時間的關系圖如圖4所示.

圖4

由圖發現小球速率與加速度大小都隨時間呈周期性變化，但兩者增減步調不再完全相同,速率隨時間圖呈半波形而加速度大小隨時間圖呈“W”形.

下面理論分析上述變化的原因:首先速率隨時間圖呈半波形原因與前面所述原因一樣由合力F做正負功；而加速度大小的變化也是由切向加速度與法向加速度的大小中較大者所控制.

2.3 小球從最大擺角約等于41.4°靜止釋放

圖5

小球擺動過程的加速度就隨擺角θ的減小而減小，也就是小球剛釋放時，擺角θ最大，處于等效最高點，合力有最大值，擺球加速度最大．當θ=0擺球處于等效最低點f時，合力最小，擺球加速度最小．

3 小球做部分圓周運動的周期研究(最大擺角為135°)

以小球都從a點靜止釋放為例，通過將改變條件后小球的|v|-t，|a|-t圖與未改變前的圖2進行對照分析.事實上由于小球運動周期恰好是小球速率、加速度大小變化周期的兩倍，為方便，直接研究小球速率、加速度大小變化周期.

3.1 改變小球的外力

將帶電荷量q與質量m均擴大為原來的2倍即取q=2 C，m=2 kg.結果見圖6所示.

圖6

實際上將外力擴大或縮小并不影響小球的運動周期，更特別的是小球的速率與加速度的大小隨時間的變化趨勢也未發生絲毫改變.究其原因這是由于受qE=mg限制，使得小球運動的速率與切向加速度和法向加速度表達式都與質量無關.

3.2 改變小球的軌道半徑

將小球的軌道半徑擴大取r=1.5 m.結果見圖7所示.

圖7

連續改變軌道半徑，讀取對應小球速率與加速度大小的變化周期，如表1所示.

3.3 改變小球的重力加速度

由于地球表面不同緯度的重力加速度的值幾乎約為9.8 m/s2相差不大，為了更加清楚地看出g對周期的影響，g取值在8～10.5之間；其次為保證小球的電場力與重力仍相等，場強E也對應改變. 如圖8是取g=5 m/s2,E=5 N/C的|v|-t，|a|-t圖.

圖8

連續改變重力加速度，讀取對應小球速率與加速度大小的變化周期，如表2所示.

表2 改變重力加速度小球速率與加速度大小的變化

參考文獻

1 馬文蔚.物理學.北京：高等教育出版社，1999.40