警惕3球平衡問題的陷阱

黃尚鵬

(湖北省監利縣朱河中學 湖北 荊州 433325)

題目:如圖1所示，相同的兩個勻質光滑球O1和球O2懸在結于定點O的兩根長度都為l的輕繩上，此兩球同時又支持一個等重的勻質光滑球O3.已知3個球的半徑都為r，質量都為m，整個系統平衡時，兩根輕繩與豎直方向的夾角都為α，O1O3和O2O3與豎直方向的夾角都為β，試證明:

(1)tanβ=3tanα；

圖1

解法一：我們知道如果一個力所做的功與具體路徑無關，這種力叫做保守力.在保守力場中，保守力所做的功等于勢能的減少.保守力學體系處于平衡狀態時，根據系統勢函數一階導數為零的原理，可得出系統在保守力以及約束力等作用下的平衡位置，因此本題可用能量的觀點求解，解法如下.

本題中的α和β是確定系統位置的兩個獨立變量，系統的勢函數可用這兩個獨立變量表示.由于要對任意的α和β，寫出系統的勢函數，故α和β確定以前，不能認為兩輕繩的方向分別通過O1和O2，而應該從α和β相互獨立各為任意值開始分析，畫出的部分幾何圖形如圖2所示.

圖2

選懸掛點O所在的水平面為重力勢能參考面，則系統的勢函數

Ep=-2mgOB-mgOO3=

-2mg(OA+AB)-mg(OA+AB-O3B)=

-3mg(OA+AB)+mgO3B=

+2mgrcosβ

(1)

(2)

由式(1)、(2)知

(3)

由式(3)知

2rsinβ-lsinα>0

tanβ=3tanα

(4)

由式(3)、(4)知

tanα·3tanα=tanα·tanβ=

(5)

由式(5)解得

2rsinβ-lsinα=rsinα

即

證畢.

解法二：若不用能量的觀點求解本題，如圖3所示.

圖3

對球O1，根據三力匯交原理，輕繩的方向應通過O1，在ΔOO1O3中，由正弦定理，得

即得結論.

設3個球間的彈力為FN，輕繩的拉力為T.對球O3，由3力平衡，得

mg=2FNcosβ

(6)

對球O1，在垂直于拉力的方向上，由平衡條件，得

mgsinα=FNsin(β-α)

(7)

由(6)、(7)兩式，消去FN，有

2sinαcosβ=sin(β-α)=

sinβcosα-cosβsinα?tanβ=3tanα

對本題的深入思考:考慮到本題實際，α和β并不能無限接近于零，因為由幾何關系知

即有β≥30°，等號成立的條件是球O1和球O2也相切.但當β=30°時，3個球兩兩相切，此時要求輕繩與球O3相交，如圖4所示，這顯然不符合實際，故要使整個系統能夠在某位置處于平衡狀態，考慮到本題實際，還需要求兩根輕繩不能與球O3相交，即要求O3到輕繩的距離

d≥r

(8)

圖4

由幾何關系，知

d=2rsin(β-α)

(9)

由(8)、(9)兩式，得

(10)

令β-α=θ(θ≥30°)，則

β=α+θ

由

tanβ=3tanα

得

tan(α+θ)=3tanα

即

整理得

3tanθtan2α-2tanα+tanθ=0

(11)

式(11)是關于tanα的一元二次方程，方程有解的條件是判別式Δ≥0，即

Δ=(-2)2-4×3tanθ×tanθ≥0

解得

即

θ≤30°

故

β-α≤30°

(12)

由(10)、(12)兩式，知

θ=β-α=30°

將θ=30°代入式(11)，解得

即

α=30° 故

β=α+θ=60°

再由

得

此即要使整個系統能夠在某位置平衡，繩長l和半徑r必須滿足的關系，若不滿足這個關系，則系統在任何位置都不能平衡，或者即使理論上可能平衡，也要求輕繩與球O3相交，但這不符合實際.因此，本題中系統平衡的位置是唯一確定的，該系統平衡時，兩根輕繩恰好與球O3相切，如圖5所示.

圖3

參考文獻

1 何海明.電荷擺球平衡問題的陷阱.中學物理教學參考,2013(11)：52～53

2 中國科學技術大學高等數學教研室.高等數學導論·上冊(第3版).合肥:中國科學技術大學出版社,2007.123～126

3 周衍柏.理論力學教程(第2版).北京:高等教育出版社,1986.286～287