等效“平擺線”在物理解題中的應用
——2013高考福建省物理壓軸題和2013北約自主招生壓軸題的思考

周 華

(長樂第一中學物理組 福建 福州 350200)

2013高考剛落下帷幕，今年福建省理科綜合物理試題第22題和北約物理自主招生第12題相似，都不約而同地考查的是數學中的擺線問題；此前，2008江蘇卷高考物理試題第14題也考查了擺線問題．擺線問題在物理競賽和自主招生考試中是一個必備的知識點，只要參加過物理奧賽和自主招生培訓的同學就會非常熟悉，最近在2011年第28屆全國中學生物理競賽復賽試卷第3題(漸開線)和第4題中(平擺線)有考查過．擺線是一類十分重要的曲線，可以分為平擺線、圓擺線、漸開線三大類．今年福建高考和北約自主招生考查的是平擺線，下面就對平擺線在物理解題中的應用做一個總結．

1 平擺線的數學定義和參數方程

擺線為奇妙的數學曲線之一，平擺線定義是：一個圓在一條定直線上滾動時，圓周上一個定點的軌

跡稱為平擺線．也叫做“等時曲線”或“旋輪線”．如歷史上著名的“最速降線”就是平擺線；在日常生活中，自行車、馬車、火車等車輪上的任一點隨車輛的前進而描繪出美妙的旋輪線．

如圖1所示，為正在平直路面以速度v0勻速行駛的某車輛的一只輪子，輪子的半徑為r，以輪緣上某時刻與地面的接觸點A作為直角坐標系的原點，與v0方向為x軸，建立坐標系．經時間t，輪子轉過的角θ, 此時輪緣A點的參數方程為

x=rθ-rsinθ

y=r-rcosθ

圖1

2 平擺線的等效性運動學和動力學原理

對于平擺線在物理學中完全可以看作是“圓”在“直線”上滾動，即可將平擺線的運動可看成勻速直線運動和勻速圓周運動的合運動．而作為對應的漸開線，在物理學中完全可以看作是“直線”在“圓”上滾動，即可將漸開線的運動可看成勻速圓周運動和勻速直線運動的合運動．

根據力與運動的關系，在具體情況中，只要對物體運動進行受力分析，就能找出對應的勻速直線的分運動的合力為零，做勻速圓周的分運動受到一個大小恒定而方向不斷隨速度變化的向心力．

3 平擺線原理在物理解題中的應用

下面就以2013年高考福建省理綜第22題和2013年北約自主招生第12題為例，講解等效平擺線在物理解題中的應用.

【例1】(2013年高考福建卷第22題)如圖2(a)，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．讓質量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度和方向入射到該磁場中．不計重力和粒子間的影響．

(1)若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經過x軸的A(a,0)點，求v1的大小；

(2)己知一粒子的初速度大小為v(v>v1),為使該粒子能經過A(a,0)點，其入射角θ(粒子初速度與x軸正向的夾角)有幾個？并求出對應的sinθ值；

(3)如圖2(b)，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發射，研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關．求該粒子運動過程中的最大速度值vm．

圖2

標準答案給出的原解如下：

(1)帶電粒子以速率v在勻強磁場B中做勻速圓周運動，半徑為R，有

(1)

當粒子沿y軸正向入射，轉過半個圓周至A點，該圓周半徑為R1，有

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

(4)

由式(1)、(4)解得

(5)

圖3

(3)粒子在運動過程中僅電場力做功，因而在軌道的最高點處速率最大，用ym表示其y坐標，由

動能定理，有

(6)

由題知，有

vm=kym

(7)

若E=0時，粒子以初速度v0沿y軸正向入射，有

(8)

v0=kR0

(9)

由式(6)～(9)解得

其實第(3)問中，粒子的運動軌跡就是擺線，命題人為了降低難度，給出了“研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關”這一條件，希望引導學生能得出正確結論．

其實，根據牛頓經典力學中力與運動的關系可知，只要物體的受力情況和初始情況確定，其以后的任一狀態都是可以預知的．所以這些條件是多余的，是否正確還有待商榷．下面筆者用平擺線的等效性運動學和動力學原理解決第(3)問．

解：因為初始時x軸方向的速度為零，可等效為一個沿+x軸的勻速運動和沿-x軸的勻速運動，設其速度大小均為v2，且恰好可使qv2B=Eq，即

初始時，把沿-x軸的速度v2與v0合成，在原點O處帶電粒子受力和運動分析如圖4，因為沿+x軸的勻速運動的速度v2產生的洛倫茲力與電場力Eq抵消，帶電粒子的受力等效成只受一個洛倫茲力qv合B作用，這個力提供向心力使粒子沿圖中虛線的圓做勻速圓周運動，因此粒子的運動可看成一個以速度大小為v合的順時針勻速圓周運動和一個以速度大小為v2的沿+x軸的勻速直線運動的合成．

圖4

且

很顯然當勻速圓周運動到最高點時，v合與v2同向，速度達最大值，大小為

【例2】(2013北約自主招生第12題)如圖5所示，在一豎直平面內有水平勻強磁場，磁感應強度B的方向垂直該豎直平面朝里．豎直平面中a，b兩點在同一水平線上，兩點相距l．帶電荷量q>0，質量為m的質點P，以初速度v從a對準b射出．略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設定q，m和B均為不可改取的給定量．

(1)若無論l取什么值，均可使P經直線運動通過b點，試問v應取什么值?

(2)若v為第(1)問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會經曲線運動通過b點?

(3)對每一個滿足第(2)問要求的l值，計算各種可能的曲線運動對應的P從a到b所經過的時間．

(4)對每一個滿足第(2)問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點?若能，再求P在a而后運動過程中可達到的最大運動速率vmax．

圖5

解析：(1)當質點從a勻速直線運動到b時滿足條件，即

mg=qv0B

得出速度

且為正電荷．

(2)這一問就是典型的平擺線運動，可將初速度v等效成為v0和v1的合成，初始時v0和v1共線(v1取正號時與v0同向，取負號時與v0反向)，可寫成v=v0+v1，其初始時的受力分析和運動分析如圖6(a)，只畫出v1取正號時圓周運動，若v1取負號時圓周軌跡在下方，不影響解題，所以下面就以取正號分析．所以質點的運動可看成一個以速度大小為v1的勻速圓周運動和一個v0的勻速直線運動的合成．

圓周運動的周期與速度v1無關

當粒子第n次回到直線ab上時，恰好到達b點

(n=1，2，3，…)

圖6

(3)由(2)易知a到b的時間為

(n=1，2，3，…)

(4)解決此問與上面的方法一樣，只需要把初速度為零等效一個沿ab方向的v0和與ab方向相反的-v0，質點的運動等效為一個沿ab方向的速度大小為v0的勻速直線運動和以速度大小為v0的勻速圓周運動的合成，如圖6(b)所示.

圓周運動的周期與速度v0無關，仍為

當粒子第n次回到直線ab上時，恰好到達b點

(n=1，2，3，…)

所以可以通過b點．

當勻速圓周運動到最低點時，兩分速度方向相同，速度最大，即

在17世紀，大批卓越的物理學家、數學家(如伽利略、帕斯卡、托里拆利、笛卡兒、費爾馬、伍任、瓦里斯、惠更斯、約翰·伯努里、萊布尼茲、牛頓等等)熱心于研究這一曲線的性質．所以各大考試中出現試題是歷史發展的必然，在平時的教學中我們教師不要忘記物理學史，對一些歷史上重要的研究方法和思維還是很有必要向學生介紹，讓學生領略大師們是如何去研究復雜運動的．

在分析物體做復雜運動時，如能揭示出其運動的數學原理和客觀背景，能夠將物體運動規律的本質表現出來，物理情景就會更為明朗，也會使抽象的數學變得有生活意義．

參考文獻

1 佘守憲,唐瑩.重力場和正交均勻電磁場中的旋輪線(擺線).物理與工程，2001,11(6)

2 佘守憲,唐瑩.淺析物理學中的旋輪線(擺線).大學物理，2001,20(6)

3 趙燦冬.擺線性質的物理分析方法.大學物理，2010,29(2)

4 丁明武.擺線在物理解題中的應用.中學物理，2011,29(21)

5 吳佩萱.“最速降線”問題——數學史上最激動人心的一次公開挑戰.數學通報，2006,45(5)