常見直線與曲線比較問題的深度分析

張洪明

(寧波市北侖明港高級中學 浙江 寧波 315800)

1 相同位移無初速度曲面與斜面下滑快慢比較

如圖1所示，物體(可以看成質點)第一次從靜止開始沿著光滑斜面從頂端A點下滑到斜面底端B點，所用時間為t1；第二次從靜止開始沿著光滑曲面從頂端A點下滑到曲面底端B點，所用時間為t2.請比較二次所用時間的大小？

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

圖1

常見錯誤解法：采取速度-時間圖像即v-t圖像來解析，沿著直線AB下滑是勻變速直線運動a=gsinθ，而曲面下滑時的加速度a=gsinφ(θ與φ分別是切線與水平方向的夾角),曲線下滑的加速度逐漸減小，由于v-t圖像中曲線與時間軸所圍的面積Ⅰ和直線與時間軸所圍成的面積Ⅱ相等(即位移相等)，如圖2(a),必然是曲線運動下滑的時間比直線下滑的時間短，結論為A，t1>t2．

圖2

比較軌跡中任一點與最低點，應滿足

圖3

因為

y=R(1-cosθ)

則

既然，擺線自由下滑的時間是最短的．那么，題目中的曲線沒有說明是否是擺線，所以就存在三種可能

(1)直線運動時間大于曲線運動時間；

(2)直線運動時間小于曲線運動時間；

(3)直線運動時間等于曲線運動時間；

拓展應用：如圖4所示，AB和AC為兩等高的光滑面，AB為斜面，AC為曲面，且二者路程相等．今從A處由靜止釋放一小物體，沿AB面運動時，到達B用時間為t1；沿AC面運動時，到達C用時間為t2．試比較t1和t2的大小．

證明方法同上，結論t1>t2．

圖4

2 相同位移相同初速度曲面與水平直線運動快慢比較

如圖5所示，讓一個小球(可以看成質點)沿著光滑直線AB與沿著光滑曲面CDE運動，曲面水平方向位移與直線相同，曲面對稱，兩次初速度都是水平方向v0,比較沿著直線運動到右端所用的時間t1與沿著曲線運動到右端所用的時間t2大小關系

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

圖5

也就是說在前半程的任意時刻在曲線運動中沿著水平方向分速度都大于直線運動同位置的水平速度．這樣前一半位移內曲線運動水平方向的平均速度快，另一半所用時間對稱，所以結論為

t1>t2

拓展思考：光滑直線AB與光滑曲面CDE水平位移相同，直線初速度是水平方向v0,曲線初速度大小也是v0，比較沿著直線運動到右端所用的時間t1與曲線運動到右端所用的時間t2大小關系

A.t1>t2B.t1=t2

C.t1

解析：問題乍一看上去好像和問題2一樣，仔細推敲還是與問題2有所不同，主要區別在于曲線運動的水平方向的分初速度變為vx

從任意時刻的速度水平方向上的分量來看，我們不能確定在下降到最低點之前，在曲面上運動時水平方向上速度的水平分速度的平均值與直線上的速度大小無法確定．

所以結論是不確定．

圖6

3 相同位移相同動摩擦因數曲面摩擦力做功與斜面摩擦力做功比較

A.W1>W2B.W1=W2

C.W1

圖7

常見錯誤解法：沿著斜軌道滑動摩擦力做功，受力分析不難求解出為W2=μmgLcosθ=μmgR(其中L為斜面長，θ為斜面與水平面的夾角)這是很多教師會直接得出一個重要的結論，就是無論斜面的與水平面的夾角有多大，只要水平位移相等的話，那么滑動摩擦力做功就等于μmgR．沿著圓弧摩擦力做功直接很難求解，這時可以引用斜面做功的結論，把圓弧分成N份如圖8(a)，當N∞大時可以用直線逼近曲面，在每一小段斜面上滑動時，其滑動摩擦力做功都等于μmgL水平，那么把每一小段的滑動摩擦力做功進行累加，也就相等于圓弧在水平方向投影長度一樣，那么結論就是滑動摩擦力在圓弧上做功W1=μmgR，結論為W1=W2，以上分析方法是錯誤的．

圖8

錯解剖析：上述結論應用過程中形成這樣一個結論的本質就是物體與斜面之間的彈力

FN=mgcosθ

導致在斜面上滑動摩擦力做功為

W=FNL=μmgLcosθ=μmgs

s為斜面所對應的水平位移大小．而實際上物體在沿著圓弧下滑時，由于實際運動是圓周運動需要向心力，此時受力如圖8(b)所示

無論在哪個位置

這樣就導致此時的滑動摩擦力在任意微元弧長Δs內做的元功為

如果對整個圓弧進行積分所得做的功比直線逼近圓弧時做的功要多．這樣告訴我們一個重要的事實就是在進行曲線分割用微元法求解相應問題的時，任意曲線運動應該用一系列的圓形進行逼近，這樣才能保證向心力的存在符合事實．類似的當曲面向外突出時候所得到結果應該是

所得到的元功為

對整個弧長累加的結果是得到功比沿斜面下滑滑動摩擦力做的總功要少．以前結果是我們在直線下滑時進行了理想處理認為在任意一個轉角處沒有機械能損耗，實際上速度的改變是需要力的作用，這樣就導致用直線逼近曲線的結果與直接用曲線求得的結果存在一定的差異．因此，W1>W2，正確結論為A.

參考文獻

1 趙燦冬.擺線性質的物理分析方法.大學物理,2010，29(2):11～13