存在空氣阻力情況下的平拋運動軌跡研究

狄 龍 張啟迪

(淮北市第一中學 安徽 淮北 235000)

1 問題的提出

平拋運動在高中物理教學過程中是一個常見內(nèi)容，在高中物理新課程標準教科書中是這樣定義拋體運動和平拋運動的：以一定的速度將物體拋出，如果物體只受到重力的作用，這時的運動叫做拋體運動(Projectile Motion)．可以看出，教科書中的定義忽略了實際存在的空氣阻力．很多情況下，我們可以用這種理想模型去研究初速度水平的拋體運動，但是，若考慮存在空氣阻力情況下，運動的情形到底是如何的呢？

現(xiàn)在我們就來研究當空氣阻力滿足f=-kv時，初速度水平的拋體運動的軌跡情況．

2 理論推導

2.1 拋物體動力學方程

首先對小球進行受力分析，小球受到重力mg，方向豎直向下；空氣阻力f=-kv，方向與速度方向相反，根據(jù)牛頓第二定律可以列方程

(1)

又由于

上式可化為

分離變量可得

積分得

2.2 拋物體運動變化規(guī)律

2.2.1 速度隨時間的變化規(guī)律

當t=0時，vx=v0,vy=0,可得

Cx=-v0Cy=-g

因此得速度隨時間變化規(guī)律

(2)

2.2.2 位置隨時間變化規(guī)律

當t=0時，x=0,y=0，積分上式可得位置隨時間變化規(guī)律

(3)

這也是小球以t為參數(shù)的軌跡方程．

2.2.3 平拋運動的長期行為

當t→∞時，由上式可得

(4)

所以在有阻力的情況下，長期來看，水平方向的速度為零，而豎直方向的速度是趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)和物體所受重力和阻力系數(shù)有關．位移為

(5)

可見，長期看來，平拋小球在考慮空氣阻力的情況下，水平方向有一個極限位移，在豎直方向上是做勻速直線運動的．

2.2.4 阻力可忽略時的情況

當k→0時，可得

這也就是我們在中學物理課程中忽略空氣阻力處理此問題時，所得到的結論．對于水平和豎直方向的位移，由上邊的式子可得

即

(5)

3 軟件模擬并與理論推導對比

筆者同時運用Matlab軟件對此過程進行了模擬．所得到的橫坐標、縱坐標隨時間變化的規(guī)律如圖

1(a)所示，平拋運動軌跡圖如圖1(b)所示．

圖1

(1)圖1(a)中上圖的橫坐標表示運動時間，縱坐標表示水平方向上位移的大小，圖1(b)下圖橫坐標表示運動時間，縱坐標表示豎直方向位移的大小；圖1(b)中橫坐標表示水平方向位移大小，縱坐標表示豎直方向上位移大小．

從以上圖像我們可以看出，相比于沒有阻力的情況下，小球的橫縱坐標都要小一些．在沒有阻力的情況下，小球的運動軌跡是拋物線，而在有阻力的情況下，小球的運動軌跡是一條彎曲的曲線，且彎曲程度要比無阻力情況下明顯．在有阻力的情況下，水平方向有一個極限距離，而豎直方向趨向于勻速直線運動．通過這三幅圖，就可以清楚地展示出平拋運動在考慮空氣阻力時的運動性質，與前面的數(shù)學推導也是一致的．