電磁學中矢量點叉積的積分運算

秦朝峰

(運城學院物理與電子工程系 山西 運城 044000)

在電磁學的教學實踐中，師生們經常進行矢量積分的運算[1]，諸如：電場強度

電場力

Fe=-qE

磁感應強度

安培力

F=I∮Ldl×B

電場力做功

電勢

動生電動勢

電通量

磁通量

能通量

∮S(E×H)·dS

電場能

磁場能

高斯定理

∮sD·dS=q(q在高斯面S內)

安培環路定理

∮LH·dl=I

等矢量點積、叉積、混合積的積分形式．高等數學的教學中只講過矢量代數的點積、叉積、混合積的公式及矢梯度、散度、旋度、高斯公式、斯托克斯公式等，并未涉及矢量的微積分運算，導致許多理工科系的同學們一遇到矢量微積分就感覺物理難學，很不適應大學物理、電磁學等課程．針對物理教學中的困惑，以電磁學中的內容為例來說明矢量積分的運算．

1 矢量積分的歸類及處理

1.1 歸類

仔細觀察不難發現，上述積分抽象為三類：

(1)線積分

其中dr=dxi+dyj+dzk，a=axi+ayj+azk；

其中面元dS=ndS；

顯然，被積函數是處理問題的關鍵．

1.2 被積函數的處理

方法1:直接矢量運算．

設a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk，則

或

a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=

axbx+ayby+azbz

(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+

(axby-aybx)k

(a×b)·c=a·(b×c)=

ay(bzcx-bxcz)+az(bxcy-bycx)

方法2:建立合適的坐標系，將矢量進行分解，最后寫成矢量形式．本文引入右正交標架[2]:取e1，e2，e3三個矢量為單位矢量，且互相垂直，滿足右手定則e1×e2=e3，e2×e3=e1，e3×e1=e2，故e1，e2，e3稱為右正交標架．(ei,ej)=δij,1≤i,j,k≤3，(e1,e2,e3)=1．用圖1表示．

圖1

方法3:兩個矢量叉積a×b的大小|a×b|=|a||b|sinθ，方向為右手螺旋定則；點積a·b=|a||b|cosθ；混合積

(a×b)·c=absin(a,b)cos(a×b,c)

1.3 矢量積分公式[3，4]

1.3.1 微積分的公式

1.3.2 三類矢量積分的公式

2 電磁學中矢量點叉積的積分運算舉例

2.1 點積的積分

【例1】如圖2(a)，在源電荷q的電場中，試探電荷q0從a移動到b，a點對應的位矢為ra，b點對應的位矢為rb．求ab間的電勢差．

解析1：用圖2(b)坐標架直接套圖2(a)即有表達式

E=Ee3dl=dxe3-dye2

此處

dx=dr

圖2

解析2：利用點積的投影含義

E·dS=En·dSn=EdS

E·dS=Er·dSr=EdS

2.2 叉積的積分

解析1：引入右正標架，如圖3．

圖3

由圖可知

eφ=-sinφe3+cosφe2

eρ=cosφe3+sinφe2

dl=dleφ=dl(-sinφe3+cosφe2)

r=-Reρ=-R(cosφe3+sinφe2)

故

dl×r=-Rdle1

解析2：直接用a×B的大小|a×B|=|a||B|sinθ，方向為右手螺旋定則．所以，B的大小為

B的方向可由右手螺旋定則確定為垂直于紙面向外．

2.3 混合積的積分

【例4】導體棒AB以速度v垂直切割磁感線，v的方向與AB成θ，如圖4(a)求導體棒AB產生的動生電動勢．

圖4

解法1：引入右正交標架，按如圖4(b)位置放置．則

dl=dxe3+dye2

v=ve3B=Be1

或者

解法2：直接用混合積

(a×B)·c=absin(a,B)cos(a×B,c)

【例5】圖5(a)長為L的一根銅棒OA，在均勻磁場中以勻角速度ω轉動，磁場的磁感應強度B與棒垂直，轉軸通過棒的一端并與B平行，求OA產生的動生電動勢．

圖5

補充數學知識：如圖5(b)可知，eρ=cosφe3+sinφe2，eφ=-sinφe3+cosφe2，那么，A=Aρeρ+Aφeφ，Aρ=A·eρ,Aφ=A·eφ,eρ·eρ=eφ·eφ=1,

eρ·eφ=0

位矢r=xe3+ye2在極坐標系下的表達為r=ρeρ，dr=dρeρ兩邊對時間的一階導數為速度

解法2：dl=dleρ，v=lωeφ，B=Be1，則

兩種解法都說明A點電勢低于O點．

3 結論

綜上所述，引入右正交標架，根據需要適當放置，矢量便可直接參與運算，直截了當；另外，也可先算大小，然后，根據需要用右手螺旋定則確定方向．對于高校理工科系來說，一般都開設大學物理，如果在高等數學的教學內容沒有涉及矢量的微積分，那么同學們在學習大學物理的課程時就會感覺很難．為此，筆者也呼吁高校在高等數學的教學內容里面增加矢量微積分的內容，以期對學生學習大學物理、電磁學等課程奠定基礎．

參考文獻

1 吳之林.電磁學中的矢量積分.大學物理，1987(1)：26～27

2 陳省身.南開大學微積分講義(第五講).2002. 1～6

3 Susan Jane colley.Vector Calculus.New York：Pearson，2012.29～34

4 Ken Riley,Michael Hobson and Stephen Bence.Math method for physics and engneering.Cambridge:Cambridge University Press,2002.340～360