基于二維七參數轉換模型的坐標轉換參數的計算

馮里濤 ，鄧云青

(1.浙江省測繪質量監督檢驗站，浙江 杭州 310012; 2.杭州余杭測量隊，浙江 杭州 311100)

1 引 言

我國已開始采用三維地心坐標系CGCS2000，因此在實際應用中我們經常會遇到二維平面坐標系向CGCS2000 轉換的問題。目前，從一個坐標系到另一個坐標系的轉換方法已有多種［1］，通常方法是找到一組在兩個基準下空間直角坐標均已知的同名點，進而求出兩個基準間的轉換參數即可，如我們所熟知的布爾莎轉換模型，然而這種轉換方法多用于三維坐標轉換，在傳統坐標系(如1954年北京坐標系、1980年西安坐標系)下，大地高通常是未知或不能精確得到的，無法使用三維坐標轉換模型;針對傳統大地坐標系的二維坐標轉換，可以使用平面四參數轉換模型，但是平面四參數對處理小范圍的局域網是可行的，但隨著控制網區域的擴大，大地坐標向二維平面進行高斯投影過程中發生的變形就變不能忽略，此方法的局限性會很快暴露出來，特別是在建立范圍比較大的大地測量框架時，其坐標轉換精度不能保證。針對浙江省基礎地理信息數據庫在不同基準之間的坐標轉換工作，為保證坐標轉換的精度，采用基于二維七參數的坐標轉換模型，來計算浙江省內北京1954 坐標系或西安1980 坐標系與CGCS2000 坐標系在不同基準下的轉換參數，以避開大地高不準確和投影變形等弱點。

2 坐標系統轉換方法

2.1 轉換模型選取

二維七參數轉換模型是一種改正數法，它的理論基礎是大地坐標微分公式，采用廣義大地坐標微分公式直接求出大地坐標改正數［2］。其基本思想就是要將基準轉換和坐標系轉換融合到一個模型中，從而建立起不同基準下大地坐標間更為直接的關系。與布爾沙模型不同的是，在轉換時除了要考慮類似于空間直角坐標系的平移、旋轉和縮放外，還必須顧及橢球參數的變化，只有這樣才能讓定位、定向、形狀和大小不完全相同的兩個橢球重合。由于二維七參數坐標轉換模型考慮了不同坐標系橢球參數的變化，適用于不同大地坐標系間的轉換。

二維七參數轉換的模型如下:

其中:△B，△L——同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經度差，單位為弧度，

△a，△f——兩個橢球長半軸差(單位m)、扁率差(無量綱)，

△X，△Y，△Z——平移參數，單位為m，

εx，εy，εz——旋轉參數，單位為弧度，

m——尺度參數(無量綱)。

式(1)與七參數模型公式相比［3］，由原來的7 個參數變為9 個參數，除了3 個平移參數、3 個旋轉參數和1 個尺度參數外，多出兩個橢球參數△a、△f。

事實上，我們已經獲得了一些橢球較為精密的橢球參數，比如我國建立1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數，CGCS200 應用的則是2000 國家大地坐標系橢球參數。從這種意義上講，可以通過固定橢球參數將式(1)中的△a 和△f 兩個參數作為已知解，從而提高參數解求的可靠性。

2.2 重合點選取

坐標重合點可采用在兩個坐標系下均有坐標成果的點。但最終所選用的重合點還需根據所確定的轉換參數，計算重合點坐標殘差，根據其殘差值的大小來確定重合點是否參與坐標轉換計算，重合點的選取應采用以下原則:首先選取所有重合點求取轉換參數，計算重合點的坐標殘差，若殘差中誤差大于3 倍中誤差則剔除，重新計算坐標轉換參數，直到滿足精度要求為止;用于計算轉換參數的重合點數量不少于5 個，且區域分布均勻。

整體轉換參數的檢核:選擇部分重合點作為外部檢核點，不參與轉換參數計算，用轉換參數計算這些點的轉換坐標與已知坐標進行外部檢核。應選定至少6個均勻分布的重合點對坐標轉換精度進行檢核。

按照前面重合點的選取原則，從浙江省GPS 基礎控制網中選取了54 個重合點，這54 個重合點在1980年西安坐標系和CGCS2000 坐標系中均有坐標成果，從54 個重合點中最終均勻選取了40 個重合點用于求取轉換參數，剩余14 個重合點用于轉換參數的檢核，54 個重合點的分布情況如圖1所示。

圖1 重合點分布圖

2.3 轉換參數平差計算

在本文中坐標轉換參數的求解采用間接平差法，因△a，△f 是有已知解，可將其視為常數，則式(1)的誤差方程為:

在式(2)中B 是為重合點在待轉換坐標系下的大地坐標值按式(1)計算出來的系數矩陣，X 為式(1)中前7 個參數組成的7 行1 列的轉換參數矩陣，l 為常數項可用式(3)表示。

其中L2000，B2000表示重合點在CGCS2000 中的大地坐標即經緯度;L80，B80表示重合點在1980年西安中的大地坐標。

按最小二乘原理，式(2)中的X 必須滿足VTPV=min 的要求，因為每個參數互為獨立量，故可用求函數自由極值的方法進行計算，將其轉置后得:

將式(4)代入式(2)，以便消除V，得:

該式即為二維七參數坐標轉換模型進行轉換參數求解時的間接平差方法的法方程。由式(5)可得:

由式(6)即可解出待轉換坐標系向目標坐標系進行轉換時，7 個轉換參數的最小二乘解，其中在式(6)中P 為重合點坐標觀測值的權陣，因為重合點大地坐標值是采用等精度觀測方法獲得的，故P 可視作單位矩陣，不對平差結果產生影響。

3 轉換參數計算及精度評定

3.1 坐標轉換殘差計算

按照2.3 中所介紹的平差方法，利用選取的40 個重合點根據式(1)計算出坐標轉換模型中的7 個待求參數，為了使計算結果更為直觀，將重合點在CGCS2000 中的大地坐標測量值投影到以120°中央子午線的3°帶高斯平面上，計算出其高斯平面坐標的x 和y 值，并依據已計算出的轉換參數，將重合點在1980年西安坐標系的大地坐標轉換成CGCS2000 坐標系的成果，并計算出轉換得到的大地坐標的高斯投影坐標x 和y 值，進而計算出依據計算坐標轉換模型參數進行基準轉換和高斯投影后所得重合點在x 方向和y 方向上的殘差(如圖2所示)。從圖中可以看出，各重合點的高斯坐標殘差均在毫米級，其中y 方向殘差略差，但均在誤差允許的范圍內。經計算，40 個重合點坐標轉換殘差中誤差為0.014 m。

圖2 重合點平面坐標轉換殘差

3.2 坐標轉換精度檢核

利用40 個重合點所求得的轉換參數，將14 個檢核點在1980年西安坐標系中的大地坐標成果轉換到CGCS2000 坐標系的大地坐標成果，得到檢核點在CGCS2000 坐標系中的大地坐標轉換成果，然后將檢核點在CGCS2000 坐標系中的測量成果和轉換成果均投影到以120°中央子午線的3°帶高斯平面上，計算本次坐標轉換的平面精度(如表1所示)。從表1中可以看出，各點在x 方向和y 方向上計算值和測量值的殘差值均在毫米級，經計算得到本次坐標轉換的平面點位中誤差為0.008 m，能夠滿足1980年西安坐標系與2000 國家大地坐標系轉換時，1∶5 000 比例尺小于0.5 m，1∶10 000比例尺小于1 m的精度要求。由此可知，平面二維七參數坐標轉換模型，在不需要對大地坐標進行空間直角坐標轉換和無大地高的基礎上，能夠實現不同基準之間大地坐標的直接轉換，其精度完全能滿足浙江省1∶5 000和1∶10 000基礎地理信息數據庫從西安1980坐標系向CGCS2000 坐標系的整體轉換。

表1 檢核點殘差表

4 總 結

通過以上討論，可以看到平面二維七參數能夠實現兩個坐標系下大地坐標的直接轉換，不但無需提供大地高，而且無需將大地坐標值轉換成空間直角坐標系后再進行坐標轉換，然后再將目標坐標系下的空間直角坐標系轉換成目標坐標系的經緯度，而且平面二維七參數顧及了不同坐標系橢球參數的差異，具有很高的轉換精度，能夠滿足較大范圍內的坐標轉換需要，尤其適合于省級范圍內的基礎地理信息數據庫大地坐標間的直接轉換。

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