圓曲線擬合方法及數據采集分析

潘桂新，鄧德標

(1.中山市黃圃測繪工程有限公司，廣東中山 528429;2.廣東南方數碼科技有限公司，廣東廣州 510665)

1 引言

測量工作中有時會遇到對幾何物體進行檢測，如呈直線物體分布形狀，只要采集兩個點的平面坐標就能根據直線方程反算方程系數;又如空間平面物體，在物體表面采集3個不共線的點，根據三維坐標即可求出空間平面方程。

由于制造工藝和測量誤差的原因，物體往往不是嚴格的幾何形狀，而根據有限的測量數據也不能嚴密地反算出物體設計時的幾何方程，所以實際工作中會進行多余觀測，通過一定數量的數據去擬合物體的幾何方程，如直線擬合［1，2］、平面擬合［3，4］、二次曲面擬合［5］和球面擬合［6］。本文研究水平面上的圓曲線擬合方法，根據圓曲線的參數方程推導出相應的誤差方程，通過平差計算求出圓心坐標和半徑，并通過模擬分析得出一些對圓狀物體進行測量的實用結論。

2 圓曲線擬合模型

擬合模型是測量平差中常遇到的一種特殊的函數模型，是一種函數逼近型或統計回歸型模型。在圓曲線或圓柱上采集若干個點(如圖1所示)作為獨立觀測量，根據圓曲線方程可求出圓心坐標及圓半徑，由于采集點有誤差，各個點并不在圓周上，要在這些采集點上擬合出一條最佳圓曲線。

在半徑未知的情況下，設采集點個數為m，以圓心的坐標平差值、半徑平差值和圓心至各采集點的方位角平差值^αi為參數，圓曲線的參數方程為:

圖1 圓曲線擬合

將式(1)線性化，得誤差方程為:

若半徑已知，則誤差方程如下:

根據間接平差模型:V=B^x－l。令:

根據式(6)可算得圓心的坐標和半徑平差值。

由協因數陣Q=(ATA)－1和驗后單位權中誤差可得參數的協方差陣，其中n為誤差方程總數，t為參數個數，由此可計算誤差方程中各參數的中誤差進行精度評定。

3 數據處理分析

在實際測量和計算中，由于測量誤差、數據采集的位置、采集的數據量及半徑是否已知等情況的不同，直接影響到計算結果的正確性，故下面分別針對這4種情況進行模擬分析。

在AutoCAD上繪制一個半徑為 1 m的圓，其圓心坐標為(1456.299，337.005)，使用“定數分段”功能在圓周上生成一定數量的節點，再利用捕捉功能采集各個節點坐標作為基礎數據，最后利用MATLAB軟件中的random函數生成服從標準正態分布的隨機數，作為觀測誤差添加到基礎數據中來模仿實際測量的采集數據。

3.1 采集點精度分析

根據誤差傳播定律可知，采集點的精度會影響到擬合后的圓心坐標精度，現在模擬5組對同個圓均勻采集 20個點的數據，分別附加 ±5 mm、±10 mm、±15 mm、±20 mm、±30 mm的誤差，分析不同精度的采集點會對擬合結果產生多大的影響，圓柱半徑作為未知數，結果如表1和圖2所示。

不同精度的采集點解算結果 表1

圖2 采集精度與圓心點位精度的關系

3.2 采集點數量分析

為分析采集點的數量對擬合后圓心點位中誤差的影響，現在圓上均勻地采集 5、10、15、20、30 個點，采集點均隨機附加 ±15 mm的誤差，半徑未知，解算結果如表2和圖3所示。

圖3 采集點個數對應的對擬合精度

采集點數不同解算結果 表2

3.3 采集點位置分析

在對圓狀物體進行觀測的工作中，往往因其他物體的遮擋或設站點的位置使得不能夠對圓柱進行全方位地采集數據。為分析在不同范圍內的采集數據對擬合結果的影響，下面分別對1/4圓、2/4圓、3/4圓、4/4圓這4種范圍進行分析，各個范圍均采集15個點，采集點精度約為 ±15 mm，以半徑未知的形式進行擬合計算，結果如表3和圖4所示。

不同采集范圍的對比結果 表3

圖4 不同的采集范圍對擬合精度的影響

3.4 半徑已知分析

以上分析都將半徑作為未知量根據式(2)進行求解的，下面將半徑作為已知量并利用式(4)進行解算，得到的圓心中誤差跟前面的結果作對比，分別如圖5、圖6和圖7所示。

圖5 采集精度的影響

圖6 擬合點數的影響

圖7 采集范圍的影響

4 結語

通過對以上模擬數據的分析，可得出以下4個結論:

(1)由表1和圖2可知，在采集點個數和分布情況相同的前提下，觀測精度和擬合精度大致呈正相關的線性關系，即觀測精度越高，擬合后得到的圓心坐標和半徑的精度也越高。

(2)由表2和圖3可知，均勻采集的點數越多擬合的精度就越高，但當點數達到一定數量后，精度提高的幅度不明顯，建議均勻采集10～15個點比較合適。

(3)由表3和圖4可知，采集點的分布對擬合精度有很大的影響，應盡量只在1/4的范圍內采集，在半徑未知的情況下，采集區域應在圓的3/4以上。

(4)由圖5、圖6、圖7可知，半徑已知的解算結果表明擬合精度相對較高，特別是在采集范圍較小的情況下能大大提高圓心的點位精度，因此若半徑已知可縮小采集范圍。

為深入研究，可結合文獻［7］和文獻［8］所述的粗差探測方法，對擬合數據進行粗差檢驗，從而提高平差結果的精度和可靠性。

［1］郭際明，向巍，尹洪斌.空間直線擬合的無迭代算法［J］.測繪通報，2011(2):24～25.

［2］丁克良，沈云中，歐吉坤.整體最小二乘法直線擬合［J］.遼寧工程技術大學學報·自然科學版，2010，29(1):44～47.

［3］官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩健的點云數據平面擬合方法［J］.同濟大學學報·自然科學版，2008，36(7):981～984.

［4］程效軍，唐劍波.基于最小二乘擬合的墻面平整度檢測方法［J］.測繪信息與工程，2007，32(4):19～20.

［5］王解先.工業測量中一種二次曲面的擬合方法［J］.武漢大學學報·信息科學版，2007，32(1):47～50.

［6］鄧德標，方源敏，趙子龍等.空間球狀物體的數據采集與分析［J］.測繪科學，2013，38(5):146～148.

［7］李華，宗琴，卜立軍.基于不同學科解決粗差探測問題的方法研究［J］.測繪科學，2012，37(5):14～16.

［8］關葉沆，周西振，劉傳瑞.一段圓弧上多點坐標擬合圓心位置的可靠性分析［J］.勘察科學技術，2012(4):54～57.