高中數學考試中的數列問題解題技巧分析

孫小星

引言：數列包含了需要重要的數學思想，在考試中對于數列知識的考察比較全面，在高考中具有逐漸加強的趨勢。在考試中不僅考察數列極限、數學歸納法等基本的基礎知識，而且常常和解析幾何等知識結合起來，考查學生綜合應用數學知識的能力。

一、遞推數列的解題技巧

數列作為高中數學課程標準中的重要內容，具有起點低、難度大、技巧性強而且直觀性不強的特點，常常是考試和競賽中的熱點內容。在數列問題中求通項公式是其中的核心內容，雖然等差數列和等比數列是學生常見的通項式形式，但是在實際的考試試題中數列的通項公式往往比較復雜。同時在解決數列問題時，常常需要先求出數列的通項公式，然后才能進一步的解決其它數學問題。

例1設數列{an}的前n項和為Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一個和n沒有關系的常數，而且b≠1，請用n和b表示出an的表達式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

從而可以推得

通過不斷的遞推可以得到an=

從而可以得到

二、數列和不等式結合問題解題技巧

在數學試題中數列和不等式常常結合起來作為壓軸題目出現，在數學試題中的比重比較大，因此應當重視數列和不等式的綜合解題策略。同時在求解數列中的最值問題時，常常需要和不等式結合起來進行解決，通過建立相應的目標函數來得到最值，將數列問題轉化為函數的問題，或者利用題目中的條件來確定不等式中的最值。

例2假設a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中項，那么 的最小值為多少？

分析：根據等比中項的關系可以建立a，b之間的關系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有當 時，a=b才能成立。在本題目中不僅考察了指數函數和數列的知識，而且也考察了不等式求最值的知識，對于學生的變通能力具有比較高的要求。

數列和不等式證明的綜合題目也是考試中常見的考察項目，在解決這類問題時常常利用比較的方法。特別是差值比較法是其中常見的方法，分析法和綜合法也是其中常見的方法，此外還有放縮方法，通過適當的增加或者減少項數，擴大或者縮小分母的方法可以達到解題的目的。

例3已知數列{an}的前n項的和為Sn=2n2+2n，數列{bn}的前n項的和為Tn=2-bn。

（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；

（2）設cn=an·bn，試證明：當且僅當n≥3時，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的關系式，在求出之后可以得到cn的表達式，通過做商法來比較大小。

解：（1）由于a1=S1=4，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以數列{bn}是首項為1，公比為1/2的等比數列，從而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，從而可以得到

則n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3時， <1成立，所以 <1時，原式cn>0成立。

三、結語

數列不僅是高中數學重要的基礎知識，而且其中還蘊涵了豐富的數學思想和方法，并且和其它的數學知識例如函數、方程、不等式等都具有比較密切的關系，而且還和微積分知識有著比較緊密的關系。同時隨著信息技術的發展，數列作為數學中的基本知識得到了廣泛的應用，而且也在經濟、工科等方面的研究中占有重要的地位。數列知識是對遞歸序列的提升和系統化，它同時也推動了中學數學建模的發展，對于幫助提高學生分析和解決實際問題的能力都具有重要的促進作用。但是由于數列題型的變化比較復雜，在解題的過程中不僅要掌握好相關的數列知識，而且還應當掌握其它的數學知識，這樣才能使有效的解決數列問題。

參考文獻

[1] 徐伯銜.例談數列中不等關系的解題思想[J].中學數學，2009（11）：317-318.

[2] 萬麗娜，咸遠峰.遞推數列通項的九個模型[J].中國數學教育（高中版），2010（5）：168-169.

引言：數列包含了需要重要的數學思想，在考試中對于數列知識的考察比較全面，在高考中具有逐漸加強的趨勢。在考試中不僅考察數列極限、數學歸納法等基本的基礎知識，而且常常和解析幾何等知識結合起來，考查學生綜合應用數學知識的能力。

一、遞推數列的解題技巧

數列作為高中數學課程標準中的重要內容，具有起點低、難度大、技巧性強而且直觀性不強的特點，常常是考試和競賽中的熱點內容。在數列問題中求通項公式是其中的核心內容，雖然等差數列和等比數列是學生常見的通項式形式，但是在實際的考試試題中數列的通項公式往往比較復雜。同時在解決數列問題時，常常需要先求出數列的通項公式，然后才能進一步的解決其它數學問題。

例1設數列{an}的前n項和為Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一個和n沒有關系的常數，而且b≠1，請用n和b表示出an的表達式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

從而可以推得

通過不斷的遞推可以得到an=

從而可以得到

二、數列和不等式結合問題解題技巧

在數學試題中數列和不等式常常結合起來作為壓軸題目出現，在數學試題中的比重比較大，因此應當重視數列和不等式的綜合解題策略。同時在求解數列中的最值問題時，常常需要和不等式結合起來進行解決，通過建立相應的目標函數來得到最值，將數列問題轉化為函數的問題，或者利用題目中的條件來確定不等式中的最值。

例2假設a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中項，那么 的最小值為多少？

分析：根據等比中項的關系可以建立a，b之間的關系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有當 時，a=b才能成立。在本題目中不僅考察了指數函數和數列的知識，而且也考察了不等式求最值的知識，對于學生的變通能力具有比較高的要求。

數列和不等式證明的綜合題目也是考試中常見的考察項目，在解決這類問題時常常利用比較的方法。特別是差值比較法是其中常見的方法，分析法和綜合法也是其中常見的方法，此外還有放縮方法，通過適當的增加或者減少項數，擴大或者縮小分母的方法可以達到解題的目的。

例3已知數列{an}的前n項的和為Sn=2n2+2n，數列{bn}的前n項的和為Tn=2-bn。

（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；

（2）設cn=an·bn，試證明：當且僅當n≥3時，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的關系式，在求出之后可以得到cn的表達式，通過做商法來比較大小。

解：（1）由于a1=S1=4，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以數列{bn}是首項為1，公比為1/2的等比數列，從而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，從而可以得到

則n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3時， <1成立，所以 <1時，原式cn>0成立。

三、結語

數列不僅是高中數學重要的基礎知識，而且其中還蘊涵了豐富的數學思想和方法，并且和其它的數學知識例如函數、方程、不等式等都具有比較密切的關系，而且還和微積分知識有著比較緊密的關系。同時隨著信息技術的發展，數列作為數學中的基本知識得到了廣泛的應用，而且也在經濟、工科等方面的研究中占有重要的地位。數列知識是對遞歸序列的提升和系統化，它同時也推動了中學數學建模的發展，對于幫助提高學生分析和解決實際問題的能力都具有重要的促進作用。但是由于數列題型的變化比較復雜，在解題的過程中不僅要掌握好相關的數列知識，而且還應當掌握其它的數學知識，這樣才能使有效的解決數列問題。

參考文獻

[1] 徐伯銜.例談數列中不等關系的解題思想[J].中學數學，2009（11）：317-318.

[2] 萬麗娜，咸遠峰.遞推數列通項的九個模型[J].中國數學教育（高中版），2010（5）：168-169.

引言：數列包含了需要重要的數學思想，在考試中對于數列知識的考察比較全面，在高考中具有逐漸加強的趨勢。在考試中不僅考察數列極限、數學歸納法等基本的基礎知識，而且常常和解析幾何等知識結合起來，考查學生綜合應用數學知識的能力。

一、遞推數列的解題技巧

數列作為高中數學課程標準中的重要內容，具有起點低、難度大、技巧性強而且直觀性不強的特點，常常是考試和競賽中的熱點內容。在數列問題中求通項公式是其中的核心內容，雖然等差數列和等比數列是學生常見的通項式形式，但是在實際的考試試題中數列的通項公式往往比較復雜。同時在解決數列問題時，常常需要先求出數列的通項公式，然后才能進一步的解決其它數學問題。

例1設數列{an}的前n項和為Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一個和n沒有關系的常數，而且b≠1，請用n和b表示出an的表達式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

從而可以推得

通過不斷的遞推可以得到an=

從而可以得到

二、數列和不等式結合問題解題技巧

在數學試題中數列和不等式常常結合起來作為壓軸題目出現，在數學試題中的比重比較大，因此應當重視數列和不等式的綜合解題策略。同時在求解數列中的最值問題時，常常需要和不等式結合起來進行解決，通過建立相應的目標函數來得到最值，將數列問題轉化為函數的問題，或者利用題目中的條件來確定不等式中的最值。

例2假設a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中項，那么 的最小值為多少？

分析：根據等比中項的關系可以建立a，b之間的關系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有當 時，a=b才能成立。在本題目中不僅考察了指數函數和數列的知識，而且也考察了不等式求最值的知識，對于學生的變通能力具有比較高的要求。

數列和不等式證明的綜合題目也是考試中常見的考察項目，在解決這類問題時常常利用比較的方法。特別是差值比較法是其中常見的方法，分析法和綜合法也是其中常見的方法，此外還有放縮方法，通過適當的增加或者減少項數，擴大或者縮小分母的方法可以達到解題的目的。

例3已知數列{an}的前n項的和為Sn=2n2+2n，數列{bn}的前n項的和為Tn=2-bn。

（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；

（2）設cn=an·bn，試證明：當且僅當n≥3時，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的關系式，在求出之后可以得到cn的表達式，通過做商法來比較大小。

解：（1）由于a1=S1=4，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以數列{bn}是首項為1，公比為1/2的等比數列，從而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，從而可以得到

則n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3時， <1成立，所以 <1時，原式cn>0成立。

三、結語

數列不僅是高中數學重要的基礎知識，而且其中還蘊涵了豐富的數學思想和方法，并且和其它的數學知識例如函數、方程、不等式等都具有比較密切的關系，而且還和微積分知識有著比較緊密的關系。同時隨著信息技術的發展，數列作為數學中的基本知識得到了廣泛的應用，而且也在經濟、工科等方面的研究中占有重要的地位。數列知識是對遞歸序列的提升和系統化，它同時也推動了中學數學建模的發展，對于幫助提高學生分析和解決實際問題的能力都具有重要的促進作用。但是由于數列題型的變化比較復雜，在解題的過程中不僅要掌握好相關的數列知識，而且還應當掌握其它的數學知識，這樣才能使有效的解決數列問題。

參考文獻

[1] 徐伯銜.例談數列中不等關系的解題思想[J].中學數學，2009（11）：317-318.

[2] 萬麗娜，咸遠峰.遞推數列通項的九個模型[J].中國數學教育（高中版），2010（5）：168-169.