追蹤溯源 有效架構

郁紅

源起·追溯·思索

【源起】“9加幾”作為20以內進位加法的第一課時，歷來受到教師們的青睞，經常用于展示課、研討課的教學。然而，筆者在聽了多位教師對這一內容的課堂教學后發現他們之間都或多或少地存在著一些共同的問題。

（1） 9加幾內容簡單，很難上出層次感。

（2）計算方法單一，就是“湊十法”，課堂重復性高，趣味性因而不夠強。即使有多樣的算法也是為迎合教師的需求而出現。

（3）很多學生在學習“湊十法”之前已經會計算9加幾，倘若根據教材編排先動手擺一擺再提煉方法，顯得有點滯后，學生的操作沒有實際意義。

（4）一節課下來，學生未能體會“湊十法”的優越性。

翻閱資料，筆者發現專家們對此課爭論最多的是“9加幾算法多樣化與最優化”這一問題。一部分人認為，“湊十法”是最優化的方法，其他許多方法的實質往往只是“湊十法”的衍生。因此，在“9加幾”的起始課中，教師應千方百計地將學生引導到“湊十法”上來。也有一部分人認為，由于學生生活背景和思維發展水平存在著比較大的差異，在起始課硬要拉學生學習“湊十法”，容易挫傷他們的學習積極性，應該讓學生自主選擇合適的方法相對比較合理。那么，這節課到底該教些什么？如何教呢？

【追溯】新課程倡導數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯?！?加幾”作為一節技能課，不僅要使學生掌握基本技能操作的程序，還要使學生理解程序和步驟的道理。作為教師，首先要做的是熟悉教材中的每個知識點、清楚知識鏈接的邏輯體系。此課的算理算法是什么、知識生長點在哪里，這些都是我們一線教師需要研究和分析的。為此筆者翻閱了相關資料，對算理、算法、十進制等文化進行了追溯。

算理就是計算過程中的道理，是指計算過程中的思維方式，解決為什么這樣算的問題。算法就是計算的方法，主要是指計算的法則，是簡約了復雜的思維過程，添加了人為規則后的程式化的操作步驟，解決如何算得方便、準確的問題。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括，兩者相輔相成。

十進制計數法包括十進位和位值制兩條原則，“十進”即滿十進一；“位值”則是同一個數字由于所在位置的不同，表示的數值也不同。亞里士多德稱人類普遍使用十進制，只不過是絕大多數人生來就有10根手指這樣一個解剖學事實的結果。實際上，在古代世界獨立開發的有文字的計數體系中，除了巴比倫文明的楔形數字為六十進制、瑪雅數字為二十進制外，幾乎全部為十進制。

這些數學文化都是需要我們教師在課前就理解與明了的。

【思索】

（1）未學習之前，孩子們對“9加幾”的掌握程度如何？是僅會背答案式的計算，還是已初步掌握了算理與算法？

（2）除了人教版教材外，其他版本教材中對“9加幾”的內容是如何設置、編排的？

（3）教師該如何辯證地使用教材，才有利于學生的體驗與探索？

前測·實施·剖析

【前測】本次前測分師生兩個層面展開。

教師層面：在區教師學科培訓時以“人教版9加幾”的教材為載體，采用訪談與問卷相結合的形式進行調研。主要目的是全面了解全區小學數學教師對教材的分析水平與教材缺失的補充能力。

學生層面：在中心城區小學與農村小學各隨機抽測了部分一年級的學生（在“9加幾”教學前），分兩個梯度前測。梯度一，全員參與，口算9加幾；梯度二，訪談口算正確的學生，怎樣算、為什么這樣算？目的是較全面地了解一年級學生“9加幾”計算的一般狀態，為教學提供一個有效數據及錯例借鑒，也為下階段進一步學習相關內容提供前位服務。

【剖析】結合前測的實施過程以及數據的收集匯總，筆者從師生兩個層次對“9加幾”的教材編排與教學策略進行了剖析。

教師層面：筆者專門就“9加幾”這課主題圖中直接提出“湊十法”、缺乏主動構建以及此課的算理、算法、認知基點等問題和參加學科培訓的教師代表進行了交流，將教師們的意見匯總如下：

表一：區學科培訓教師“9加幾”相關內容調查結果統計表（共計92人）

內容 算理、算法 知識構建 主題圖

情況 熟知 基本了解 茫然 完全清晰 部分清晰 茫然 完全認同 似有疑問 需要修改

人數 90 1 1 41 49 2 30 35 27

1.算理、算法清晰明了

分析上述統計數據，我們不難發現，一線教師對于計算課中必須要掌握的算理與算法情況樂觀。他們基本上都能準確地說出“因為9加1可以湊成十，所以把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13”?？梢哉f，我們一線教師對于“9加幾”這一課的算理與算法是胸有成竹的。

2.知識構建喜憂參半

從知識構建的經緯度分析：知識構建的經度指的是同類知識間的縱向聯系（即前后聯系），比如此課的基礎是不進位加法，為以后進一步學習進位加法及退位減法等做好準備。知識構建的緯度則是指跨類別知識的橫向溝通，如此課的知識生長點即是十進制與計數。

從上述統計表的第二欄“知識構建”中我們可以發現，完全清晰與部分清晰的比例基本對等。這里的完全清晰是指知識的縱向聯系與橫向溝通均一清二楚（至少經過提示可以想到），而部分清晰的49位教師一般是只能從縱向角度講出的是知識間的前后聯系，他們心目中此課的知識生長點一般是前面學習的不進位加法與數的認識，對于十進制、位值制這些橫向溝通則較少涉及。

從教材處理的能動性分析：不少教師認為教材是專家編的，而專家都是高水平的，所以教學過程只要按照教材內容執行即可。如此這般照本宣科，久而久之師生成了教材的“奴隸”。從統計表的第三欄就可以看出，依然有33%的教師對教材執膜拜的態度；67%的教師則開始有辯證看教材的意識，并且在這部分教師中有近一半明確提出主題圖需要修改。endprint

學生層面：本次抽測共收回有效問卷582份，其中中心城區小學400份，農村小學182份。筆者整理匯總了參測學生 “9加幾” 的口算情況及口算正確學生對“9加幾”算理、算法的了解程度，分析匯總如下（數據精確到小數點后一位）：

表二：“9加幾”口算情況統計表（5分鐘20題）

答對情況

地域 20題 15～19題 10～14題 5～9題 5題以下

中心城區小學 40.0% 35.0% 17.5% 5.0% 2.5%

農村小學 26.9% 36.8% 14.8% 12.1% 9.4%

表三：“9加幾”算法、算理了解情況統計表

地域 算法 會表達算理

湊十法 背答案 扳手指

中心城區小學 47.0% 33.0% 20.0% 8.0%

農村小學 31.9% 29.1% 39.0% 2.2%

1. 現實起點分析

隨著學前教育的逐步規范與家庭教育的日益重視，孩子們認知的現實起點也日漸提升。從上述兩個統計表中我們可以對比看到，無論是中心城區小學的孩子，還是農村小學的學生，他們基本都在學習之前已經會算9加幾的題目，而且計算正確的題數在15道及以上的學生也占了64% ～75%的比例。其他的學生也基本會算，只是速度較慢。因此，可以看出，學生已有“9加幾”的認知基礎，而且現實起點是高于邏輯起點的。

2. 內涵達成解剖

同時我們也對計算正確率較高的學生進行了訪談。首先，從算法上看，除了“湊十法”外，有很多孩子是在背結果寫答案，而通過扳手指的辦法數出來的學生也不在少數；其次，從算理上說，基本沒有學生能清楚明白地表達計算過程中的思維方式，對于為什么可以這樣算的認識是混沌的。

這說明，學生前期對“9加幾”的掌握，在很大程度上是依賴于成人的告知，然后被動地記憶。所以算法即便是有，大多也只是來源于被動的獲取，而對算理的認知就基本上是空白的了。因此，算理與算法作為本課的重難點，急需教師提供給學生一個主動建構與領悟的過程。

研究·解讀·架構

【研究本質——把握知識間多維度的內在聯系】

1.把握基本線索，理清知識之間的內在聯系

綜觀各版本教材，“9加幾”是計算教學的一個分水嶺，此前的“10以內的加減法”和“10加幾及相應的減法”都是借助加減法的意義來進行計算的。“9加幾”第一次呈現抽象的計算方法——“湊十法”，其后續的教學內容無非是加數數量的增加或進位次數的增多，它是計算教學算法上的一次擴充，表明計算是有方法可循的。本節課在計算教學上從算法角度來說起著承前啟后的作用。

再看“湊十法”本身，它的計算原理是先湊十，再加余，即“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”。可見，其基本結構是數的“十進制計數法”。

2.總覽知識全局，把握知識之間的內在聯系

數概念是按照10以內、20以內、100以內、萬以內……這樣的方式編排的，計算也是按照10以內數的計算、20以內數的計算、100以內數的計算、萬以內數的計算……來編排。這樣，先學數的概念，再學相應的計算，將計算與數的概念的學習緊密地結合在一起。教學“9加幾”時，要將數概念與相應的計算相互溝通起來，使學生對它們有整體性的認識，進而有助于學生對數學知識形成一個合理的認知結構。

【對比解讀——加強各版本教材間縱橫交錯的聯系】

筆者通過觀察各版本教材，發現“9加幾”這一課在編排上除了單元分布、課時次序有所差異外，教材提供的主題圖也有微小的調整。那么主題圖的引領和教學縱向的調整對孩子學習有怎樣的影響呢？為此，筆者對人教版、蘇教版、北師大版、滬教版相關內容進行了比較分析和解讀。

表四：各版本教材“9加幾”內容編排的比較概述

內

容

版

本 單元分布 主題圖引領 知識基礎

一年級上期中前 一年級上期中后 多種方法 湊十法 數的認識 不進位加法 十進制

直接 間接 20以內 100以內

人教版 單元

第一課時√ √ √ √ √ √

蘇教版 單元

第一課時√ √ √ √ √ √

北師大版 單元

第四課時√ √ √ √ √ √

滬教版 單元

第六課時√ √ √ √ √

從上面的統計表與各版本教材截圖中我們可以解讀到以下幾點教材編排意圖：

（1）各版本都在一年級上冊中安排了“9加幾”的教學，都是在20以內數的認識、10的組成、10加幾以后教學。

（2）各版本教材都將“湊十法”定為了重要的計算方法。人教版、蘇教版和北師大版都呈現接著數和“湊十法”兩種方法，以體現算法多樣化，滬教版只有“湊十法”一種。人教版和蘇教版對“湊十法”的教學采用拆小數湊大數的方法，北師大版和滬教版則將拆大數湊小數與拆小數湊大數同時呈現。

（3）在算法、算理的呈現上面，人教版和蘇教版都是將盒子外的一個物體移進盒子內湊成一盒，形成湊十的思路，注重湊十的形象思維。北師大版和滬教版則是通過擺小棒、圈點子圖、用計數器等方法，在注重湊十的形象思維外，還突出滿十進一的十進制計數法，詮釋了“湊十法”與十進制計數法之間的聯系。

綜上，各版本教材在知識技能層面，都要求學生掌握“湊十法”，強調通過動手操作理解湊十的過程；在內涵達成層面上，蘇教版和人教版更側重算法的抽象概括，滬教版和北師大版更側重“湊十法”的生長點。

【有效架構——利用知識生長點促進學生主動構建】endprint

在教學實踐中，常常會出現學生對“湊十法”排斥的情況，一方面是一部分學生已經能計算9加幾，另一方面是教材在編排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的組成和10加幾后，加入了鐘表的認識這一單元，再出現9加幾，這樣的編排從某種程度上割裂了計算教學之間的連貫性。其次，在9加幾的教材主題圖中，教材以實物、語言敘述、在9+4算式下面注出湊十的過程及相對照的方式，呈現“湊十”和口算的過程。體現的僅僅是用“湊十法”計算的示范與學法指導，沒有涉及“湊十法”所需求的知識生長點，致使教師在教學時為了讓學生少走彎路，硬生生把學生往“湊十法”一條羊腸小道趕，忽視了學生自主構建的需求，也就無法體會“湊十法”的優越性。

1. 借助數的組成進行構建

首先，課件出示均勻擺放的小棒：左邊10根，右邊5根。請學生說是多少根小棒、怎么知道的；接著出示14根均勻擺放的小棒圖，讓學生想用什么辦法能很快看出是多少根小棒，引導學生操作、討論，總結出分成10和4兩部分。

利用數的組成讓學生在原有的經驗基礎上，通過操作討論、觀察比較、歸納總結，促使學生主動積極地參與到“湊十法”的探尋過程中。

2. 結合十進制計數法進行構建

首先，呈現左邊9根小棒、右邊5根小棒，讓學生思考：怎樣一眼看出是多少根小棒？學生經過操作、討論，總結得出：從右邊5根小棒里移1根到左邊來與9湊成10，一眼就能看出是14根；或是將左邊的9根小棒移出5根到右邊與5湊成10，再與剩下的4根合起來。接著，呈現左邊8根小棒、右邊5根小棒，左邊7根小棒、右邊5根小棒，讓學生也按照上面的要求操作，使學生主動構建湊十的過程。最后讓學生比較兩種拆分方法，得出：拆小數比較方便。通過操作、演示，幫助學生形成湊十法的表象，再通過口述湊十的過程，把表象轉化成學生頭腦中的思維程序，使學生不僅知其然，還要知其所以然，從而保證了在進位加法中的有效遷移。

3.在知識的溝通中進行構建

教學中，除了讓學生會計算“9加幾”外，還要將“9加幾”與“9加1加幾”進行溝通，讓學生自主構建“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”這個過程，進而實現將“9加幾”轉化為“10加幾”。促使學生用變化與聯系的眼光體會知識間的聯系，既有利于學生主動構建“湊十法”，又幫助學生形成轉化思想。

4.在規律的探索中自主建構

在學生發現“9加幾”所得的結果“十位上都是1，個位上的數比加數少1”這一規律后，教師設問：“為什么少1？”引導學生總結出少了的1與9湊成了10，將“9加幾”的算法與算理自主融合。

行文至此，筆者對“9加幾”的教材進行了對比分析，結合學生實際，整體改進、架構，以“知識生長點”有效促進學生整體構建知識。

（浙江省寧波市鄞州區宋詔橋小學 315100）endprint

在教學實踐中，常常會出現學生對“湊十法”排斥的情況，一方面是一部分學生已經能計算9加幾，另一方面是教材在編排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的組成和10加幾后，加入了鐘表的認識這一單元，再出現9加幾，這樣的編排從某種程度上割裂了計算教學之間的連貫性。其次，在9加幾的教材主題圖中，教材以實物、語言敘述、在9+4算式下面注出湊十的過程及相對照的方式，呈現“湊十”和口算的過程。體現的僅僅是用“湊十法”計算的示范與學法指導，沒有涉及“湊十法”所需求的知識生長點，致使教師在教學時為了讓學生少走彎路，硬生生把學生往“湊十法”一條羊腸小道趕，忽視了學生自主構建的需求，也就無法體會“湊十法”的優越性。

1. 借助數的組成進行構建

首先，課件出示均勻擺放的小棒：左邊10根，右邊5根。請學生說是多少根小棒、怎么知道的；接著出示14根均勻擺放的小棒圖，讓學生想用什么辦法能很快看出是多少根小棒，引導學生操作、討論，總結出分成10和4兩部分。

利用數的組成讓學生在原有的經驗基礎上，通過操作討論、觀察比較、歸納總結，促使學生主動積極地參與到“湊十法”的探尋過程中。

2. 結合十進制計數法進行構建

首先，呈現左邊9根小棒、右邊5根小棒，讓學生思考：怎樣一眼看出是多少根小棒？學生經過操作、討論，總結得出：從右邊5根小棒里移1根到左邊來與9湊成10，一眼就能看出是14根；或是將左邊的9根小棒移出5根到右邊與5湊成10，再與剩下的4根合起來。接著，呈現左邊8根小棒、右邊5根小棒，左邊7根小棒、右邊5根小棒，讓學生也按照上面的要求操作，使學生主動構建湊十的過程。最后讓學生比較兩種拆分方法，得出：拆小數比較方便。通過操作、演示，幫助學生形成湊十法的表象，再通過口述湊十的過程，把表象轉化成學生頭腦中的思維程序，使學生不僅知其然，還要知其所以然，從而保證了在進位加法中的有效遷移。

3.在知識的溝通中進行構建

教學中，除了讓學生會計算“9加幾”外，還要將“9加幾”與“9加1加幾”進行溝通，讓學生自主構建“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”這個過程，進而實現將“9加幾”轉化為“10加幾”。促使學生用變化與聯系的眼光體會知識間的聯系，既有利于學生主動構建“湊十法”，又幫助學生形成轉化思想。

4.在規律的探索中自主建構

在學生發現“9加幾”所得的結果“十位上都是1，個位上的數比加數少1”這一規律后，教師設問：“為什么少1？”引導學生總結出少了的1與9湊成了10，將“9加幾”的算法與算理自主融合。

行文至此，筆者對“9加幾”的教材進行了對比分析，結合學生實際，整體改進、架構，以“知識生長點”有效促進學生整體構建知識。

（浙江省寧波市鄞州區宋詔橋小學 315100）endprint

在教學實踐中，常常會出現學生對“湊十法”排斥的情況，一方面是一部分學生已經能計算9加幾，另一方面是教材在編排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的組成和10加幾后，加入了鐘表的認識這一單元，再出現9加幾，這樣的編排從某種程度上割裂了計算教學之間的連貫性。其次，在9加幾的教材主題圖中，教材以實物、語言敘述、在9+4算式下面注出湊十的過程及相對照的方式，呈現“湊十”和口算的過程。體現的僅僅是用“湊十法”計算的示范與學法指導，沒有涉及“湊十法”所需求的知識生長點，致使教師在教學時為了讓學生少走彎路，硬生生把學生往“湊十法”一條羊腸小道趕，忽視了學生自主構建的需求，也就無法體會“湊十法”的優越性。

1. 借助數的組成進行構建

首先，課件出示均勻擺放的小棒：左邊10根，右邊5根。請學生說是多少根小棒、怎么知道的；接著出示14根均勻擺放的小棒圖，讓學生想用什么辦法能很快看出是多少根小棒，引導學生操作、討論，總結出分成10和4兩部分。

利用數的組成讓學生在原有的經驗基礎上，通過操作討論、觀察比較、歸納總結，促使學生主動積極地參與到“湊十法”的探尋過程中。

2. 結合十進制計數法進行構建

首先，呈現左邊9根小棒、右邊5根小棒，讓學生思考：怎樣一眼看出是多少根小棒？學生經過操作、討論，總結得出：從右邊5根小棒里移1根到左邊來與9湊成10，一眼就能看出是14根；或是將左邊的9根小棒移出5根到右邊與5湊成10，再與剩下的4根合起來。接著，呈現左邊8根小棒、右邊5根小棒，左邊7根小棒、右邊5根小棒，讓學生也按照上面的要求操作，使學生主動構建湊十的過程。最后讓學生比較兩種拆分方法，得出：拆小數比較方便。通過操作、演示，幫助學生形成湊十法的表象，再通過口述湊十的過程，把表象轉化成學生頭腦中的思維程序，使學生不僅知其然，還要知其所以然，從而保證了在進位加法中的有效遷移。

3.在知識的溝通中進行構建

教學中，除了讓學生會計算“9加幾”外，還要將“9加幾”與“9加1加幾”進行溝通，讓學生自主構建“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”這個過程，進而實現將“9加幾”轉化為“10加幾”。促使學生用變化與聯系的眼光體會知識間的聯系，既有利于學生主動構建“湊十法”，又幫助學生形成轉化思想。

4.在規律的探索中自主建構

在學生發現“9加幾”所得的結果“十位上都是1，個位上的數比加數少1”這一規律后，教師設問：“為什么少1？”引導學生總結出少了的1與9湊成了10，將“9加幾”的算法與算理自主融合。

行文至此，筆者對“9加幾”的教材進行了對比分析，結合學生實際，整體改進、架構，以“知識生長點”有效促進學生整體構建知識。

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