基于彈性基礎(chǔ)梁理論的球殼承壓能力分析

熊志鑫，羅培林

（1.上海海事大學(xué)海洋科學(xué)與工程學(xué)院，上海201306；2.哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150001）

基于彈性基礎(chǔ)梁理論的球殼承壓能力分析

熊志鑫1，羅培林2

（1.上海海事大學(xué)海洋科學(xué)與工程學(xué)院，上海201306；2.哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150001）

為解決球殼的承壓能力問題，從平板大撓度方程出發(fā)，假設(shè)板發(fā)生對稱的球冠式初始彎曲變形，就能得出承受靜水壓力的球冠平衡方程，此方程可以簡化成受橫向載荷和軸向壓力作用的彈性基礎(chǔ)梁的平衡方程。通過彈性基礎(chǔ)梁的屈曲問題，建立了球殼彈塑性失穩(wěn)的極限強(qiáng)度和壓桿臨界應(yīng)力的關(guān)系。在研究材料拉伸曲線的基礎(chǔ)上，可以改進(jìn)切線模量理論的計算方法，得出更簡便、規(guī)范的切線模量因子算法。通過與大量深潛器球殼失穩(wěn)的實驗數(shù)據(jù)和數(shù)值數(shù)據(jù)比較，表明基于彈性基礎(chǔ)梁理論的算法具有較高的準(zhǔn)確性，可以推廣用于計算承受均勻外壓球殼的極限荷載。

大撓度；彈性基礎(chǔ)梁；球殼；彈塑性；切線模量；承壓能力

隨著開發(fā)海洋的戰(zhàn)略需要和深海勘探技術(shù)的不斷發(fā)展，增大極限潛深是現(xiàn)代潛水器發(fā)展的一個主要方向。對于潛水器耐壓結(jié)構(gòu)，不僅要求其能承受較大的深水壓力，同時還要求具有較小的重量。球形耐壓殼在均勻外壓力具有應(yīng)力分布比較均勻、材料強(qiáng)度得到充分利用的優(yōu)點，可以獲得重量較輕承載能力較大的收益，因此成為深潛器最理想的結(jié)構(gòu)形式，在深海工程中成為首選結(jié)構(gòu)。彈性基礎(chǔ)梁作為一種通用結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是工程人員比較熟悉的問題，曾在潛艇耐壓圓柱殼的結(jié)構(gòu)設(shè)計中得到深入應(yīng)用［1］。近年來，被逐漸應(yīng)用到球面艙壁及圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)中的強(qiáng)度分析［2-4］。這些應(yīng)用說明，其可以解決許多旋轉(zhuǎn)殼結(jié)構(gòu)的工程實際問題。為此，本文從平板的卡門大變形方程出發(fā)，描述球殼的彎曲變形，并將球殼的彎曲問題轉(zhuǎn)化為彈性基礎(chǔ)梁的彎曲問題求解。

1 球殼對稱彎曲的微分方程

假定球殼外表面受均壓p作用，球殼在失穩(wěn)前的變形是對稱的，即認(rèn)為有圓形固定邊界的球冠變形對稱于球冠的頂點，這可以通過設(shè)置坐標(biāo)系的原點得到。已有試驗結(jié)果表明［5］，這種假設(shè)也能較準(zhǔn)確地預(yù)報其破壞壓力。如圖1所示，u，v，w分別表示經(jīng)線方向，緯線方向和徑向方向的3個位移量。

圖1 平板的球冠式變形Fig.1 Deformation of a plate with deflection in form of a spherical cap

由于變形的對稱性，可以判斷它們都是坐標(biāo)x的函數(shù)，而且v＝0，則應(yīng)力分量僅與位移分量u和w有關(guān)，并且也是坐標(biāo)x的函數(shù)。將球冠看作是有初始球形初撓度的平板，即滿足

式中：w0表示初撓度值，x、y分別表示平板2個方向坐標(biāo)值。

下面從平板大撓度彎曲的基本微分方程出發(fā)，描述具有球冠形初撓度的平板彎曲情況。

理想平板大撓度彎曲的基本微分方程可以表示為

平衡方程：

式中：w為位移函數(shù)（撓度），φ為應(yīng)力函數(shù)，t是平板厚度。在給定的邊界條件下，解以上微分方程組求得w和φ，從而求出板的薄膜力和彎曲內(nèi)力：

若平板產(chǎn)生如式（1）表示的初撓度，則

如圖1所示，則平板的實際位移為w+we，代入式（2）得

具有初始曲率的平板，在壓力p作用下變形時，它的應(yīng)變分量是：

根據(jù)以上3個應(yīng)變函數(shù)和虎克定律，可以得到初始變形為w0的平板的連續(xù)方程為

式（6）和（8）為扁球殼理論中球殼方程的相同表達(dá)形式，其中x、y代表球冠表面的徑向和周向，如圖1所示。令球冠的頂點為x軸的起點，則位移分量v＝0，u，w僅為坐標(biāo)x的函數(shù)。并且：

則胡克定律表示為

連續(xù)方程式（8）簡化為

由于應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)原點x＝0的對稱性，式（12）可以直接從式（11）積分得到

式中：n1為應(yīng)力系數(shù)，是積分常量。通過邊界條件，可以確定n1的值，令x＝0處的位移w為wx＝0表示球冠頂點的位移，由于該點處經(jīng)線和緯線2個方向的應(yīng)力相等，即

根據(jù)式（10）、（12）、（13）可以得到表達(dá)式：

根據(jù)球冠彎曲變形的特點，式（6）可以簡化為

式中：

式（15）即為彈性基礎(chǔ)梁的平衡狀態(tài)方程，從此式可以看出球冠的彎曲變形可以用板來描述，由于變形的軸對稱性，板變形撓度w在y方向上沒有變化，板處于筒形彎曲狀態(tài)。筒形板的復(fù)雜彎曲狀態(tài)求解就要用到復(fù)雜彎曲梁的結(jié)果，所以可以用彈性基礎(chǔ)梁的計算方法應(yīng)用到球殼強(qiáng)度的求解問題。

2 球殼失穩(wěn)強(qiáng)度的彈性基礎(chǔ)梁法

2.1 切線模量理論的改進(jìn)表達(dá)

基于上述的理論分析，受壓球殼的極限強(qiáng)度穩(wěn)定可以歸結(jié)為求解彈性基礎(chǔ)梁的非線性失穩(wěn)問題；彈性基礎(chǔ)梁的臨界應(yīng)力又可以轉(zhuǎn)化為梁桿的失穩(wěn)問題求解。所以，球殼，彈性基礎(chǔ)梁和梁桿的臨界載荷求解方法一致，只是三者的結(jié)構(gòu)剛度不同。通過無量綱的應(yīng)力可以解決這一問題，并回歸到材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線；由求取的臨界應(yīng)力，再得出各自結(jié)構(gòu)的臨界載荷。在梁桿的臨界應(yīng)力求解中，按切線模量理論求得的臨界力是最接近于壓桿所能承受的最大荷載。所以，應(yīng)用該理論方法求得的球殼承載能力也是較為接近實驗結(jié)果的，并在深潛器耐壓球殼的極限強(qiáng)度上得到廣泛的應(yīng)用［6］。

由于柱子曲線需要查表，且需通過測得每點的切線模量值形成圖表計算。引入?yún)?shù)切線模量因子Φ，可以較好的將切線模量的表達(dá)顯化，從而改進(jìn)切線模量理論，得到更簡便更規(guī)范的求解方法：

式中：?＝σ0／σE是代表歐拉應(yīng)力或理想結(jié)構(gòu)的參數(shù)，σ0為材料屈服應(yīng)力或其他特定值。

n是表示結(jié)構(gòu)缺陷的參數(shù)，稱為協(xié)調(diào)因子，Φ為二者的乘積，即是表示實際承壓結(jié)構(gòu)的特征值。

設(shè)實際結(jié)構(gòu)極限應(yīng)力為σmax，理想結(jié)構(gòu)的臨界應(yīng)力為σcr，則對于結(jié)構(gòu)在非線性階段失效的參數(shù)n可表示為

聯(lián)合式（20）、（21），Φ可以表示為

由以上分析可知，切線模量因子Φ是耦合了結(jié)構(gòu)特征和材料曲線的參數(shù)。

對于每一個極限平衡狀態(tài)的應(yīng)力，都有其對應(yīng)的切線模量因子值Φ。所以，通過材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線，可以得到表達(dá)平衡狀態(tài)的σ--Φ曲線（n＝1）。船舶與海洋常用材料的σ--Φ曲線如圖2所示。σ--Φ曲線可以采用以下四參數(shù)方程表達(dá)［7］：

式中：A，B，c，m是表征材料的參數(shù)值。

圖2 船用材料的切線模量因子曲線圖Fig.2 Tangent modulus factor curves of marine material

觀察圖2所示的材料切線模量因子曲線特征，可以對σ--Φ曲線采用更為簡便的直線式或二次式的表達(dá)：

將彈塑性失穩(wěn)關(guān)于長細(xì)比λ的表達(dá)式代入式（23）得到

式中：

顯然，通過取不同的表征材料的參數(shù)可得式（23）是包含柱子曲線一次表達(dá)式和二次算式的通式。

通過代入結(jié)構(gòu)的歐拉應(yīng)力至式（20），再輸入結(jié)構(gòu)對應(yīng)的n值即可得到該結(jié)構(gòu)的切線模量因子值，在分析材料拉伸曲線的基礎(chǔ)上，將切線模量因子值代入到式（23）即得到承壓結(jié)構(gòu)的極限應(yīng)力。

2.2 深潛球殼極限強(qiáng)度的計算與比較

無論是我國的潛水器耐壓殼或潛艇結(jié)構(gòu)設(shè)計計算規(guī)則，還是國外的泰勒水池海軍公式，一般均是基于彈性穩(wěn)定理論導(dǎo)出理論臨界應(yīng)力，再引入修正參數(shù)，分別計及初始撓度和材料非線性的影響，然后給出耐壓殼實際失穩(wěn)臨界壓力的計算公式。嚴(yán)格來說，殼體的幾何非線性和物理非線性是交替影響的，但在處理上卻機(jī)械地把它們割裂開來，在求解修正系數(shù)時沒有同時考慮幾何非線性和物理非線性的影響。通過引入n可以有效考慮這種影響，n既可以是單一的數(shù)值，也可以是?的表達(dá)式，嵌入到物理非線性的表達(dá)中，使計算值更為準(zhǔn)確。

2.2.1 鈦合金深海球殼的極限承載力

1）鈦合金的材料特性及表達(dá)。大深度潛水器耐壓殼體的選材要求高比強(qiáng)度、高比剛度的金屬或非金屬，鈦合金具有良好的機(jī)械性能，且重量輕、強(qiáng)度高，成為深潛器耐壓殼的首選材料。該材料的σ-ε曲線和σ--?曲線分別如圖3和圖4所示。

對于材料應(yīng)力應(yīng)變的非線性部分，可以采用下列擬合直線式來表達(dá)：

圖3 鈦合金的σ-ε曲線Fig.3 σ-ε curve of titanium alloy

圖4 鈦合金的σ--?曲線Fig.4 σ--? curve of titanium alloy

2）鈦合金深潛器球殼的簡化表達(dá)式。在工程實際中，由于制作工藝因素，球殼總是存在初始撓度缺陷，殘余應(yīng)力等影響因素，這些因素將影響球殼的極限承載能力。這時可以引入綜合因子n量化表示各種因素的影響。

實際極限狀態(tài)下，式（29）可以表示為

根據(jù)球殼載荷和應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系，可方便求出對應(yīng)的承壓球殼極限載荷：

3）鈦合金載人潛器球殼的結(jié)果分析。很多科研學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)對鈦合金材料制成球殼的極限強(qiáng)度進(jìn)行了多方面的深入研究和探索，可以將算式（30）的計算結(jié)果與數(shù)值及實驗結(jié)果進(jìn)行比較，如表1、2所示。

表1 式（29）與文獻(xiàn)［8］數(shù)值計算結(jié)果的比較Table 1 Compare the FEM results of Ref.［8］with formula（29）

表2 式（29）與文獻(xiàn)［6］實驗值的比較。Table 2 Compare the experimental results of ref.［6］with formula（29）

由表1及圖5可知，式（11）的計算結(jié)果與有限元方法的結(jié)果誤差在10%以內(nèi)。采用系數(shù)n表達(dá)由球殼制造工藝等產(chǎn)生的球殼初撓度對臨界載荷進(jìn)行修正，可以進(jìn)一步減少誤差值。

圖5 式（29）計算值與有限元法結(jié)果的比較Fig.5 Comparison of formula（29）and FEM

2.2.2 TC4材料球殼的實驗比較

1）TC4材料特性及切線模量因子表達(dá)式。TC4材料是“蛟龍”號設(shè)計階段用于球殼實驗?zāi)Ｐ偷牟牧希?］，其材料的σ--?曲線如圖6所示。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，采用最小二乘法或數(shù)學(xué)軟件擬合得到材料的切線模量因子表達(dá)式：

圖6 TC4合金的σ--?曲線Fig.6 σ--? curve of TC4 alloy

2）TC4試驗球殼。文獻(xiàn)［9］對TC4合金材料制成的1＃和2＃球殼進(jìn)行試驗。2個球殼的參數(shù)如表3所示，其中2＃球殼的不圓度達(dá)到1.812 4 mm，超過允許的250×0.5%＝1.25 mm，所以，引入因子n對其進(jìn)行修正。當(dāng)取參數(shù)n＝20以量化誤差時，計算值與試驗值的誤差在5%范圍內(nèi)。

表3 與文獻(xiàn)［9］模型實驗結(jié)果的比較Table 3 Compare the results of experiment with Ref.［9］

2.3 開孔球殼的簡化模型

根據(jù)前述的推導(dǎo)分析，球冠可以用彈性基礎(chǔ)梁的力學(xué)模型表達(dá)，那么球臺殼體部分也可以應(yīng)用這一模型來說明。球臺邊界的封閉端，例如耐壓殼開孔的觀察窗等也可以使用彈性基礎(chǔ)梁的力學(xué)模型。其力學(xué)簡化模型如圖7所示，兩端部分是球臺結(jié)構(gòu)，中間長度l部分是開孔補(bǔ)強(qiáng)構(gòu)件。

圖7 開孔球殼的簡化彈性基礎(chǔ)梁計算圖Fig.7 Simplified calculating model based on elastic foundation beam spherical hull with a hole

文獻(xiàn)［10］對帶大開口觀察窗的球形耐壓殼的非線性穩(wěn)定性進(jìn)行分析，耐壓殼的參數(shù)如表4所示。球殼部分材料為16MnR，根據(jù)材料的拉伸曲線可得其σ--?曲線的擬合表達(dá)式如式（33）所示，并進(jìn)一步得出計算結(jié)果如表5所示。

表4 耐壓殼的結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)Table 4 Structure parameter and material parameter of pressure hull

表5 各種方法的分析結(jié)果比較Table 5 The results comparison among several methods with experiment results

由以上分析可知，由于觀察窗的高強(qiáng)度，球殼的失穩(wěn)強(qiáng)度仍然取決于球殼部分。顯然，本文提供的方法比有限元分析值要低，這對于設(shè)計是偏安全的。本文提供算法較泰勒水池公式的方法更為準(zhǔn)確，原因在于基于切線模量理論求得的臨界力比雙模量算法更接近于壓桿所能承受的非彈性荷載。

3 結(jié)論

通過以上分析，得出承受外壓球殼的等效彈性基礎(chǔ)梁算法，并為開孔球殼的簡化計算模型指明理論基礎(chǔ)。通過本文的分析，還可以得出以下結(jié)論：

1）本文提供的切線模量因子算法表達(dá)規(guī)范，計算簡便，計算結(jié)果準(zhǔn)確且比試驗值偏安全，值得在深潛器耐壓球殼初步設(shè)計中推廣使用；

2）協(xié)調(diào)因子n值是半解析半經(jīng)驗參數(shù)，可以在理論求解和試驗數(shù)據(jù)的配合下完善其表達(dá)，以進(jìn)一步提高計算精度；

3）選擇合適的材料拉伸曲線表達(dá)式有助于簡化計算，提高準(zhǔn)確率；然而，當(dāng)前合金材料的性能研究并未十分成熟，關(guān)于材料拉伸曲線的試驗數(shù)據(jù)表達(dá)和評估仍然值得進(jìn)一步的研究。

［1］徐秉漢，朱邦俊，歐陽呂偉，等.現(xiàn)代潛艇結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的理論與試驗［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007：45-67.

［2］蔡新鋼，朱邦俊.球殼開孔應(yīng)力分析的一種解析方法［J］.船舶力學(xué)，2007，11（5）：759-767.CAI Xinggang，ZHU Bangjun.An analytical method for stress of opening in spherical shell［J］.Journal of Ship Mechanics，2007，11（5）：759-767.

［3］朱邦俊，王丹，萬正權(quán).端部球面艙壁應(yīng)力近似解［J］.船舶力學(xué)，2011，15（11）：1255-1263.ZHU Bangjun，WANG Dan，WAN Zhengquan.An analytical solution for stress of the end spherical bulkhead［J］.Journal of Ship Mechanics，2011，15（11）：1255-1263.

［4］鄒廣，彭興寧，杜青海.加筋圓環(huán)殼的理論求解及性能研究［J］.船舶力學(xué)，2012，16（1-2）：83-92.ZOU Guang，PENG Xingning，DU Qinghai.Theoretical solution and essential research of the ring-stiffened toroidal shell［J］.Journal of Ship Mechanics，2012，16（1／2）：83-92.

［5］鄭衍雙，陸正福，張定武.均勻外壓下有幾何缺陷球殼的破壞壓力［J］.中國造船，1986，162（1）：48-58.ZHENG Yanshuang，LU Zhengfu，ZHANG Dingwu.Collapse pressure of spherical shells with initial imperfections under uniform pressure［J］.Shipbuliding of China，1986，162（1）：48-58

［6］劉濤.深海載人潛水器耐壓球殼設(shè)計特性分析［J］.船舶力學(xué)，2007，11（2）：218-219.LIU Tao.Research on the design of spherical pressure hull in manned deep-sea submersible［J］.Journal of Ship Mechanics，2007，11（2）：214-220.

［7］熊志鑫，張志平，佟福山.材料衍生比例定律的建立及其在結(jié)構(gòu)屈曲斷裂非線性失效中的應(yīng)用［J］.船舶力學(xué)，2011，15（4）：377-382.XIONG Zhixin，ZHANG Zhiping，TONG Fushan.Estabilishment of derivative proportional law and its application in elastic-plastic buckling and fracture of structures［J］.Journal of Ship Mechanics，2011，15（4）：377-382

［8］PAN Binbin，CUI Weicheng.An overview of buckling and ultimate strength of spherical pressure hull under external pressure［J］.Marine Structures，2010（23）：227-240.

［9］PAN Binbin，CUI Weicheng，SHEN Yunsheng.Experimental verification of the new ultimate strength equation of spherical pressure hulls［J］.Marine Structures，2012（5）：1-8.

［10］盧駿鋒，趙耀，張維衡.帶大開口觀察窗的球形耐壓殼的穩(wěn)定性分析［J］.中國造船，2008，184（1）：135-141.LU Junfeng，ZHAO Yao，ZHANG Weiheng.The stability analysis of sphercial pressure shell with a large opening［J］.Shipbuilding of China，2008，184（1）：135-141

Analysis of the pressure-bearing capacity of spherical hulls using the elastic foundation beam theory

XIONG Zhixin1，LUO Peilin2
（1.College of Ocean Science and Engineering，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China；2.College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In order to analyze the pressure-bearing capacity of spherical shells，the equilibrium equation of a spherical cap subjected to hydrostatic pressure may be obtained on the basis of the plate large-deflection equation，assuming that a symmetrical spherical-cap type of initial bending deformation occurs on a plate.This equation can be simplified to the equilibrium equation of the elastic foundation beam subjected to the lateral and axial loads.Through the buckling of the elastic foundation beam，the relationship between the ultimate strength of the spherical hull at a loss of the elastic-plastic stability and the critical stress of a pressure bar can be established.Based on the stressstrain curve of the material，the method of the tangent modulus theory may be improved，and the improved algorithm is more simplified and standardized.When comparing the large number of experimental results with the calculation data，this method based on the elastic foundation beam theory proves to have a higher quality of accurateness，and this method can be applied to calculating the ultimate strength of spherical hulls under pressure.

large deflection；elastic foundation beam；spherical hull；elastoplasticity；tangent module；pressurebearing capacity

10.3969／j.issn.1006-7043.201304044

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201304044.html

TU344.3

A

1006-7043（2014）06-0690-06

2013-04-11.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014-05-14 15：53：42.

國家自然科學(xué)基金資助項目（51108259）；上海高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師專項基金資助項目（shhs12056）；2013年上海市研究生教育創(chuàng)新計劃實施項目（20131129）.

熊志鑫（1983-），男，講師，博士；羅培林（1928-），男，教授，博士生導(dǎo)師.

熊志鑫，E-mail：zxxiong＠shmtu.edu.cn.