高等代數(shù)學中的化歸思想探究

凌蕾花

(鎮(zhèn)江市高等?？茖W校 丹陽師范學院，江蘇 丹陽 212300)

侯敏義[1]指出“化歸是將未知轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的解決數(shù)學問題的基本方法”．劉洪星、梁宏偉[2]分析了化歸在高等代數(shù)課程教學中的滲透，列舉了標準形式化問題、具體化問題、低層次化問題與和諧統(tǒng)一性問題．郭微、楊月婷[3]簡要列舉了高等代數(shù)學中的化歸問題，即向量空間中向量之間的關系可以由向量在標準正交基下的坐標向量來表現(xiàn)，對于向量空間中的線性變換可以通過選定空間的基底使得該線性變換通過矩陣表示出來，還有二次型的研究可以轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的研究．這些分析初步反映了化歸的作用，但對化歸的成因和方法強調(diào)不夠．本文將進一步分析高等代數(shù)學中的化歸方法，揭示化歸的依據(jù)或工具，充分展現(xiàn)它在高等代數(shù)學中是如何發(fā)揮作用的，有效促進課程的教與學．

1 線性方程組中的化歸

1.1 線性方程組的一般解法中的化歸

線性方程組的一般解法即Gauss消元法是化歸的經(jīng)典實例，它實際上有三步．第一步，將解一般方程組問題轉(zhuǎn)化為解一個特殊方程組.在這一步中，將方程組的簡化問題化為矩陣的簡化問題，方程組在化簡過程中變化的是它的系數(shù)(元本身不變)，將所有系數(shù)依次排列構(gòu)成增廣矩陣，直接對增廣矩陣進行變化．第二步，求解出這個特殊方程組的解．其方法就是迭代法．第三步，將特殊方程組的解作為原方程組的解．其依據(jù)就是同解定理，它反映了線性方程組的本質(zhì)屬性．有了矩陣的初等變換和同解定理，再加上迭代法最終得到了Gauss消元法．整個消元法過程中充分體現(xiàn)了一般與特殊的轉(zhuǎn)化、復雜與簡單的轉(zhuǎn)化．

1.2 解的結(jié)構(gòu)表示中的化歸

在研究非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題時，大家通常是將其轉(zhuǎn)化為對應齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題，再用非齊次線性方程組的一個特解與對應齊次線性方程組的基礎解系來表示非齊次線性方程組的一般解．這種做法的依據(jù)是非齊次線性方程組與對應齊次線性方程組解之間的關系，正是因為有了這一關系才實現(xiàn)了上述轉(zhuǎn)化．整個過程也體現(xiàn)了一般與特殊的轉(zhuǎn)化．

2 一元多項式中的化歸

2.1 最大公因式中的化歸

求兩個多項式的最大公因式用的是輾轉(zhuǎn)相除法，這一方法的本質(zhì)在于不斷地用帶余除法將求f與g的最大公因式問題轉(zhuǎn)化為求g與r(g除f的余式)的最大公因式問題，經(jīng)有限步后便得結(jié)果．能夠這樣做的依據(jù)是關系式(f,g)=(g,r)，它僅由最大公因式定義便可得出．當然，帶余除法才是實現(xiàn)這一化歸的有力工具．整個化歸過程展現(xiàn)的是高次多項式向低次多項式的轉(zhuǎn)化、復雜多項式向簡單多項式的轉(zhuǎn)化．

2.2 有理根中的化歸

求一個整系數(shù)多項式有理根問題也是典型的化歸問題．其解法就是先找出多項式所有可能的有理根(只有有限個)，然后再一一篩選，得到最終確定的根．前一步的依據(jù)是定理2.7[4]，它提供了判斷一個有理數(shù)是否為多項式根的方法，能夠確定出多項式所有可能的有理根．后一步用到的方法是綜合除法，能夠準確找到多項式所有有理根．整個過程體現(xiàn)了“從未知化可知，再由可知化已知”思想．

3 行列式中的化歸

3.1 定義中的化歸

行列式的常用定義有三種，其中最普遍的一種稱為歸納定義．容易發(fā)現(xiàn)，其定義就是通過n-1階行列式來定義n階行列式的，其定義是基于2階行列式的定義是已知的．按此定義可以將任意一個高階行列式化為低階行列式，直至2階．歸納定義通過由低階表示高階來實現(xiàn)問題化歸，體現(xiàn)的是“化高為低”思想．

3.2 計算中的化歸

行列式的計算方法有多種，其中行列式性質(zhì)是行列式計算的強有力工具，依靠它可以有效實現(xiàn)問題化歸．具體來看，性質(zhì)1“行列式某一行元素的公因子可以提出來”可以將行列式的某一行簡化，體現(xiàn)了“化繁為簡”思想；性質(zhì)2“行列式某一行是兩組數(shù)的和，則這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行外全與原來行列式的對應的行一樣”將行列式分解成兩個行列式，而這兩個行列式往往容易求解，這一性質(zhì)的應用體現(xiàn)了“化難為易”思想，而性質(zhì)本身又滲透了“分解與組合”思想； 性質(zhì)3“把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變”同樣可以簡化行列式，實現(xiàn)“化繁為簡”．需要指出的是，性質(zhì)1與性質(zhì)2反映了行列式的線性性質(zhì)．

按行(列)展開定理也是行列式計算的一種工具，與歸納定義一樣，它也是通過實現(xiàn)化高階行列式為低階行列式來解決問題的．

4 矩陣中的化歸

矩陣是關于數(shù)的矩形陣列，這一定義反映出矩陣是一個數(shù)的集體，所有數(shù)按位置排列構(gòu)成一個整體即為矩陣．顯然，其中任何一個數(shù)(局部)發(fā)生變化，則矩陣(整體)也相應變化．可見，矩陣本身就是一個整體性概念，它體現(xiàn)出局部對整體的影響．下面均將矩陣看作一個整體性來理解．

4.1 運算中的化歸

矩陣運算中充滿著化歸問題．例如加法運算，矩陣A與矩陣B相加(理解為兩個整體相加)，是先將矩陣A與矩陣B分解，將它們的元素(理解為局部)松綁(不再綁定成一個矩陣)，然后讓相應位置上的元素相加，所得的和仍舊回歸原位，最后所有的和按相應位置排列好后就得到一個新矩陣(新整體)，這就是矩陣A與矩陣B的和．可見，由矩陣A與矩陣B得到它們的和是通過它們的元素求和而來的，換言之，求和過程體現(xiàn)了整體分解為局部，局部再組合成整體的變化．類似地，矩陣的減法、數(shù)乘和乘法運算等都是如此．不難理解的是，不同型(行數(shù)或列數(shù)不同)的矩陣不能相加，因為它們不能實現(xiàn)相應位置上的元素相加．

4.2 關系中的化歸

矩陣相似關系的主要應用是判斷一個矩陣是否可對角化，其依據(jù)是判斷所有特征值的特征子空間的基向量的個數(shù)之和是否等于矩陣的階數(shù)，而要求基向量就必須要用到Gauss消元法，如此化未知為已知．

矩陣合同的判斷是通過矩陣的合同變換先將矩陣化為數(shù)量矩陣，然后觀察對角線上的非零元素個數(shù)是否相同即可得到原有矩陣是否合同(研究范圍是復數(shù)域，若是實數(shù)域則分別觀察正的和負的元素的個數(shù)是否對應相同即可)，而合同變換的過程就是矩陣初等變換，所以矩陣初等變換還是判斷矩陣合同的工具．

5 向量空間中的化歸

5.1 線性組合中的化歸

判斷一向量是否為給定向量組的一個線性組合，這一問題通常是轉(zhuǎn)化為求對應線性方程組解的問題，若有解則是組合且解就是組合系數(shù)．可以看出，方程組解的問題是一個基本問題，其他很多問題都是轉(zhuǎn)化為這一問題來解決．

5.2 向量組的秩中的化歸

求向量組的秩通常是先將向量組寫成列的形式得到一矩陣，如此將問題轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩．然后，求矩陣的秩則是通過矩陣的初等變換將矩陣化成階梯形，判斷其非零行的個數(shù)即為原向量組的秩．

5.3 基中的化歸

對于有限維向量空間而言，向量有無限多個，似乎不好把握，但實際上只要找到空間的基(它由有限個向量組成)，就可以通過它來把握整個空間，實現(xiàn)“有限”把握“無限”．

6 二次型中的化歸

6.1 二次型等價關系中的化歸

二次型等價關系的判斷通常是轉(zhuǎn)化為二次型矩陣的合同關系的判斷，而合同關系的判斷在上面已經(jīng)解決，這里轉(zhuǎn)化的依據(jù)是二次型的矩陣表示，體現(xiàn)的是未知向已知的轉(zhuǎn)化．

6.2 二次型標準形計算中的化歸

通過簡單的配方就可以得到二次型的標準形，實現(xiàn)將一個二次型的簡化，體現(xiàn)“化繁為簡”思想．可見，配方法是求二次型標準形的有力工具．

6.3 二次型正定判斷中的化歸

定理9.10[4]給出了二次型正定的判斷方法．可見，二次型正定的判斷問題完全轉(zhuǎn)化為主子式(即行列式)的計算問題，從而行列式的計算成為判斷二次型正定的工具．

7 化歸的特征分析及其教學啟發(fā)

7.1 化歸的特征分析

依據(jù)1～6部分的分析，按照化歸的常見模式對實例進行分類得到表1．

表1化歸模式與實例對照表

由表1可以看出以下三點:一是化未知為已知的實例最多，這說明這種化歸模式在高等代數(shù)學中的應用最普遍；二是部分實例(如，Gauss消元法、最大公因式求法)中運用了兩種或以上模式，這說明化歸問題需要多種形式，不是一步完成，需要多個步驟；三是化歸模式齊全，幾乎所有的化歸模式在這里都用到．

依據(jù)1～6部分的分析歸納出化歸實例對應的依據(jù)或工具，得到表2．

表2化歸實例及其依據(jù)或工具對照表

由表2可以看出，化歸的依據(jù)往往都是一些關系，而化歸的工具則是基本定義、性質(zhì)或定理．在所有工具中，矩陣的初等變換是最突出的．

7.2 教學啟發(fā)

以上分析告訴我們，要真正理解化歸、用好化歸關鍵在于以下兩點:一是理解基本概念、性質(zhì)和定理，它們就是化歸的基本依據(jù)或工具，在教學中可以多舉例子幫助學生理解，多做練習加強鞏固；二是理解不同問題之間的關聯(lián)，它們也是化歸的重要依據(jù)， 在教學中可以多總結(jié)、多畫結(jié)構(gòu)圖、多反思來強化對這些關系的理解．

參考文獻：

[1]侯敏義.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].長春:東北師范大學出版社,1991.

[2]劉洪星,梁宏偉.化歸原則在《高等代數(shù)》教學中的滲透[J].安陽師范學院學報,2006(5):14-16.

[3]郭微,楊月婷.數(shù)學思想方法在高等代數(shù)教學中的滲透[J].高等數(shù)學研究,2009,12(1):105-106.

[4]凌蕾花,卜玉成.矩陣在“高等代數(shù)”中的應用基礎分析[J].鎮(zhèn)江高專學報,2012,25(1):101-103.