一類拋物方程的廣義解

李 悅

(吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000)

1 問題的提出

在文[1]中，我們知道求一個方程解的方法有很多，當x∈R時，

(1)

(2)

2 預備知識

定理1 存在常數c0≤0,使得當c≥c0時，對任何f∈L2(Ω)和fi=L2(Ω)，問題u|?Ω=0,-Dj(aijDiu)+cu=f+Difi,x∈Ω恒存在唯一的弱解.

3 逼近解的構造

(3)

為了以后計算方便，我們記

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

第二步.對逼近解做估計.在式(6)中，我們取φ=um,j-um,j-1，則式(8)變為

由此可推出

(9)

因此有

‖≤‖

(10)

我們記Mm=‖由式(10)迭代j次，我們可得

‖≤
‖≤Mm

(11)

而對式(9)求和可得

(12)

由式(7)um的定義知

um,j-1+λ(um,j-um,j-1))

由導數定義知

故由式(12)可推出

(13)

再由式(11)可得

‖
um,j|2dxdt≤

‖≤
‖≤4TMm

(14)

4 廣義解的存在性和唯一性

(15)

再對固定的ml取kl使得

(16)

(17)

至此，我們證明了問題(3)的弱解.在式(13)和式(14)中令m→∞取極限，我們還知道這弱解u滿足

于是解的存在性得證，下面我們來證明其唯一性.

上面兩式相減得?QT(utφ+u特別地取φ=uχ[0,s](t)，于是得到?QT(u1u+|u|2)dxdt=0,其中0

參考文獻：

[1]周蜀林.偏微分方程[M].北京:北京大學出版社,2005.

[2]伍卓群,尹景學,王春朋.橢圓與拋物型方程引論[M].北京:科學出版社,2003.

[3]Adams RA.Sobolev spaces[M].New York-San Francisco-London:Academic Press,1975.

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[5]王耀東.偏微分方程的理論[M].北京:北京大學出版社,1989.