利用Bessel函數求解熱傳導方程的定解

金啟勝

(安慶職業技術學院 公共基礎部,安徽 安慶 246003)

1 預備知識

變系數二階線性常微分方程x2y″+xy′+(x2-n2)y=0 稱為n階貝塞爾(Bessel)方程，其解稱為貝塞爾(Bessel)函數.根據微分方程解的冪級數理論可知:n階貝塞爾方程有一個廣義冪級數特解

此解稱為n階第一類貝塞爾函數.易知方程還有另外一個廣義冪級數特解

此解稱為-n階第一類貝塞爾函數.根據線性常微分方程解的結構定理可知:n階貝塞爾方程通解為y(x)=AJn(x)+BJ-n(x)，其中A,B為任意常數，n為非整數.如果令A=cotnπ,B=-cscnπ，則得n階貝塞爾方程另一個與Jn(x)線性無關的特解

此解稱為n階第二類貝塞爾函數.從而方程x2y″+xy′+(x2-n2)y=0 的通解可寫成y(x)=CJn(x)+DYn(x)，其中C,D為任意常數，n為任意實數[1-3].

1.1 Bessel函數的遞推公式

不同階數的Bessel函數之間有一定的聯系，由Jn(x)的表達式很容易推出以下兩個基本遞推公式：

1.2 Bessel函數的零點性質

定理1Jn(x)有無窮多個單重實零點，這些零點在x軸上關于原點對稱分布.故Jn(x)有無窮多個正零點.

定理2Jn(x)的零點與Jn+1(x)的零點是彼此相間分布的，而且Jn(x)的絕對值最小的零點比Jn+1(x)的絕對值最小的零點更接近于零.

定理3 如果x值充分大，則Jn(x)的兩個相鄰零點之間的距離接近于π.

1.3 Bessel函數的正交完全性

2 應用舉例

求解熱傳導方程的定解問題：

分離變量得[2,3]

即有

顯然|R(0)|<+∞，由(2)得R(1)=0.而方程(5)為零階貝塞爾方程，通解為:

將λm代入方程(4)得

如此以來，

根據疊加原理可知，方程(1)在滿足初始條件(2)的解為

由初始條件(3)得

所以方程(1)滿足初始條件(2)、(3)的解為

3 結語

利用貝塞爾函數的一些性質，比如遞推公式、零點分布性質、正交性及模的計算方法等，可以方便求解熱傳導方程的定解問題.不僅如此，對于波動方程、Laplace方程的定解問題也可以利用貝塞爾函數的性質來求解，這里不再贅述[5].

參考文獻：

[1]谷超豪,李大潛,陳恕行,等.數學物理方程[M].北京：高等教育出版社,2005:193-196.

[2]段志文,韓淑霞.數學物理方程與特殊函數[M].北京：高等教育出版社,2008:119-135.

[3]張慧清,吳小吟,楊小軍.數學物理方程與特殊函數[M].西安：西北工業大學出版社,2005:147-149.

[4]陳祖墀.偏微分方程[M].合肥：中國科學技術大學出版社,2004:65-94.

[5]金啟勝.利用Bessel函數求解波動方程的定解問題[J].齊齊哈爾大學學報,2014(4):89-91.