中學數學中概率的幾個要點

王鵬彥

摘 要：概率是高中數學中的一個重點內容，其基礎知識初步揭示了偶然現象中存在的必然規律。對概率這一概念的理解以及與之相關的事件的理解是解決概率問題的關鍵，同時也是學習和教學中的難點之一。本文通過實例從不同的側面來說明在概率的學習中應該注意的問題。

關鍵詞：概率 隨機事件 統計結果 隨機抽取

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（c）-0096-01

概率論是一門研究隨機現象的數量規律性的數學學科，其基礎知識是中學數學中重要的內容之一。由于在思考方法上，概率的基礎知識初步揭示偶然性中存在著必然性的規律，學生一開始接觸和學習，接受起來比較困難，尤其是對概率這一概念的理解和與概念相關的問題的思考解決中，常會出現困惑或錯誤。本文通過實例從不同的側面來說明在概率的學習中應該注意的問題。

1 從時空的角度理解概率的概念

在中學數學的范疇內理解，概率就是是表示隨機事件發生的可能性大小的0到1之間的一個數，概率越接近于1則隨機事件發生的可能性大，接近于0則隨機事件發生的可能性小。從時間的角度來說，已經發生的事件屬于過去，尚未發生的事件屬于將來。從空間的角度來說，甲地的人對于乙地的（從時間上說相對已成為過去）某事件是否發生不知道，從而判斷其發生的可能性的大小也是有意義的。

例1：說昨天下雨的概率是0.9毫無意義，而說明天下雨的概率是0.9則表示明天下雨的可能性比較大。

例2：甲對乙說：昨天去年你在A地的概率是0.09。雖然事件已成為過去，但這一說法中的“概率”顯然是有意義的，甲認為乙去年在A地的可能很小甚至不可能在A地。

2 計算概率的問題的關鍵

行為之前與之后的區別是解決計算概率的問題的關鍵在某些實際的問題中，會出現不同的時間更是解決問題的的關鍵，如果忽略了就很容易導致錯誤。

例3：用一臺機床制造某種產品，制造的產品是次品的概率是0.03。在它的產品中任取1件來檢驗，求是合格品的概率。

一種錯誤的解法是：記事件為“取出的產品是合格品”，則“取出的產品是次品”為事件（即事件的對立事件），而P（）=0.03，所以P（）=1-P（）=1-0.03=0.97。表面看起來并沒有錯，可是如果仔細分析就會發現P（）=0.03顯然不成立。這是因為：0.03表示制造產品這一行為之前對隨機事件“制造的產品是次品”發生的可能性的大小，是機床制造出次品的可能性的大小，而P（）是制造產品這一行為發生之后隨機抽檢時隨機事件“取出的產品是次品”發生的可能性大小，是抽檢的產品是合格品的可能性的大小，所以兩者之間并沒有必然的聯系，因而也就不能把它們混為一談，“0.03”實際上對于解決問題沒有意義，甚至可以說是一個干擾因素。

正確的做法是：對于抽出的一件產品檢驗，共有兩個結果，合格和不合格，而且兩者發生的可能性是相等的，因此P（）=0.5。也就是說這個問題實際上是等可能事件的概率的問題，題目中的前提“用一臺機床制造某種產品，制造的產品是次品的概率是0.03”僅僅只是說明了該機器制造的產品有合格品也可能有次品，因此，“從該機器制造的產品中任取一件檢驗是合格品”是一個隨機事件。把問題稍作改動，變為“抽出兩件產品檢驗，是合格品的概率是多少？”則是一個相互獨立事件同時發生的概率的問題，因為抽出的兩件產品中的任意一件是合格品的概率都是0.5，對另一件是合格品的概率沒有任何影響，所以結果是0.25。

3 兩個區別

（1）統計結果與概率的區別。中學數學中的概率部分主要涉及的是概率的統計定義：實驗次數無限增大時，某事件發生的頻率趨近于一個常數，把這個常數叫做該事件發生的概率。在教學和學習的過程中，經常會忽略定義中的關鍵詞“實驗次數無限增大時頻率趨近于常數”而簡單的把頻率等同于概率，以至于解決問題時出錯。這是因為頻率畢竟只是統計結果，而概率是對隨機事件發生的可能性大小的判斷。更重要的是統計結果是根據對樣本的分析而得出的對總體的估計，而概率通常只是對總體中的個體或是一個小容量的樣本的分析判斷。二者有本質上的區別。

例4：對A地0到6歲的兒童統計發現，其中男孩占53%，女孩占47%。已知A地某戶有一個小孩（0～6歲），問這個小孩是女孩的概率是多少。

解：該地由于0～6歲的兒童中男孩占53%，女孩占47%，因此，A地該戶的小孩（0～6歲）是男孩的概率是53%，是女孩的概率是47%。這種做法把統計的結果等同成了隨機事件的概率，這顯然是不可取的。正確的做法是：該小孩是男孩和是女孩的可能性相等，是女孩的概率是0.5。由此可見，統計結果和與統計對象中某個個體相關的隨機事件的概率沒有聯系，因此，在解題過程中要格外重視題目中給出的是統計結果還是概率。

（2）隨機抽取和固定對象。

這里所說的隨機抽取指的是在所描述的所有對象中任意抽取一個或幾個，而固定對象指的是描述的對象中某個或幾個固定的個體，兩者之間有著明顯的區別。例4中的“兩個小孩”就是固定的對象，所以與統計的結果沒有關系，要求的只是他們都是女孩的概率。而下面的例5中的“兩個小孩”則是隨機抽取，于是統計的結果對解題就有不可或缺的意義了。

例5：對個A地0～6歲的兒童統計，結果男孩占53%，女孩占47%。從中抽出1名，問都是女孩的概率是多少。

解：隨機抽取時，每個小孩被抽到的可能是一樣的。而A地0～6歲的兒童統計結果是男孩占53%，女孩占47%，也就是說隨機抽取一個，是女孩的概率是47%。

從以上幾點可以看出，在理解和解決與概率有關的問題時，一要理解清楚隨機事件。二要弄清問題中的隨機事件的本質特征，即問題是等可能事件的概率還是相互獨立事件同時發生的概率。三是弄清題目給出的條件與所求概率的事件的關系，否則很容易發生錯誤。

參考文獻

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