“因式分解”應注意的問題及常見錯誤

俞海江

摘 要：根據新課程標準數學教學要求，本文結合多年來的教學實踐，總結因式分解的要求、注意點、常見錯誤，力求讓學生掌握因式分解的方法。

關鍵詞：分解因式 注意問題 幾種變化 常見錯誤

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（c）-0094-02

新浙教版教材下冊第四章主要學習的內容是多項式的因式分解。

這一章的重點是因式分解的幾種基本方法，難點是學完幾種基本方法后，能否根據不同的題目，進行具體的分析，靈活地綜合運用多種方法分解因式，突破難點的關鍵在于掌握分解因式各種方法的特點。

1 學習本章內容的要求

（1）明確因式分解的意義，掌握因式分解的常用方法和一般步驟。

（2）能熟練地綜合運用學過的幾種基本方法進行因式分解。

2 學習中因注意的問題

（1）因式分解是一種和差化積的變換，屬于恒等變形，變形前后的式子必須相等（恒等），保持“形”變而“值”不變，既不能“無中生有”，也不能“化有為無”。如：

x2-xy+y2=x2-2xy+y2=（x-y）2就是錯誤的。

（2）因式分解的定義中所說的“積的形式”是對因式分解的多項式的整體來說，不能只分解多項式的一部分，如：

①x2+2x-16=（x-3）（x+5）-1

（2）x3-x2+x-1=x（x2-x+1）-1

這些表示方法都不能算是因式分解。

根據定義，多項式所分解成的每個因式必須是整式，例如x-y=（x2-y2）× 就不是因式分解。

（3）教材中指出：“因式分解，必須分解到每個因式都不能再分解為止”指的是在規定的數系范圍內不能再分解為止。在沒學到實數之前，只能在有理數范圍內進行。如36x4-y4=（6x2+y2）（6x2-y2），以后學了實數后，另一個因式6x2-y2還能分解，但現在不能。但要注意并非任一多項式都能在有理數范圍內進行分解因式，如x2-6x+10。對于能夠分解的多項式，方法往往不限于一種，要力求選擇最簡便的方法。

（4）由于受課本上的例題及其解法的影響，一些同學對因式分解的結果表達式產生一種錯覺，就是表達式一定是唯一的，其實不然，如：

分解因式：m2+mn+n2

解法一：m2+mn+n2=（m）2+2。mn+n2=（m+n）2

解法二：m2+mn+n2=（m2+6mn+9n2）

=（m+3n）2

值得指出的是：上述例說明由于系數與符號的作用，多項式因式分解的結果表達式可能有幾種形式。當然，這些形式不同的表達式是可以互化的，其值不變。

3 在學習中，要掌握好以下幾種變化，可為分解因式創造有利條件

（1）符號變化。

例：分解因式（a+b）（p-q）+（a-b）（q-p）.

若將q-p變為-（p-q），則

原式=（a+b）（p-q）-（a-b）（p-q）=（p-q）（a+b-a+b）=2b（p-q）

（2）指數的變化。

例：分解因式x n+1-x n-1

若將x n+1變為x n-1.x 2，則

原式=x n-1（x 2-1）=x n-1（x +1）（x -1）.

（3）代換變化。

例：分解因式4（x +y）2-12（x +y）（2x -y）+9（2x -y）2

若設m=x +y，n=x -y，則

原式=4m2-12mn+9n2=（2m-3n）2. 即有

上式=[2（x +y）-3（2x -y）]2=（5y-4x ）2

（4）組合變化。

例：分解因式x 2-6x -4y2+12y

原式=（x 2-4y2）-（6x -12y）=（x +2y）（x -2y）-6（x -2y）=（x -2y）（x +2y-6）.

（5）展合變化。

例：分解因式ab（c2-d2）-cd（a2-b2）

原式=abc2-abd2-a2cd+b2cd=（abc2-a2cd）+（b2cd-abd2）

=ac（bc-ad）+bd（bc-ad）=（bc-ad）（ac+bd）

（6）增拆變化。

例：分解因式x4+4y4

原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-（2xy）2=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）

在進行以上六種變化時，應做到“多想一步，有的放矢”。

4 因式分解是學習分式、解方程、三角函數式變形的基礎

它也是教與學的難點之一，其解法靈活、技巧性強，所以容易出錯，為防微杜漸和糾正錯誤，下面將因式分解中常見的錯誤作一歸類分析。

4.1 只分解了部分項

錯解例1：

P2-5p-36=（p2-5p）-36=p（p-5）-36

或=（P2-36）-5p=（p+6）（p-6）-5p

錯解例2：

4x2-4xy+y2-a2=（4x2-4xy）+（y2-a2）=4x（x-y）+（y+a）（y-a）

或=（4x2-a2）-（4xy-y2）=（2x+a）（2x-a）-y（4x-y）

分析：兩個錯例四種解法，一個病根，就是只看到了局部中的多項式能分解因式，沒有看到全局的下一步不能分解因式，因而，把不應分組的錯例1分了組；把該分組的錯例2分錯了組，這種錯誤反應了對因式分解的定義沒有真正理解。

錯例1分解的正確結果是（p+4）（p-9）

錯例2的正確分組時（4x2-4xy+y2）-a2

4.2 提公因式法中的錯誤

（1）符號處理失誤。

例3：分解因式：

誤解：原式

分析：多項式的首項帶有負號時，在解題時可先提出負號，使括號內第一項系數為正，再提公因式。

正解：原式。

（2）有而不提。

例4：分解因式：。

誤解：原式

致原式分解后括號里仍有公因式。

正解：原式

（3）忽略系數。

例5：分解因式：

誤解：原式

分析：系數也是因式，分解時要提取各項系數的最大公因數。

正解：原式

（4）漏掉了括號里是1的項。

例6：分解因式：3x2-6xy-x

誤解：原式=x（3x-6y）

分析：把公因式x提出后，就認為多項式中是x的項不存在了，因而漏掉了括號里是1的項，這里把單獨成項的不可省略的“1”與可省略的系數“1”弄混了。

正解：原式=x（3x-6y-1）

4.3 運用公式中的錯誤

（1）不理解公式中字母的含義，錯用公式。

例7：分解因式：。

誤解：原式

分析：對平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）中a、b未理解其含義。公式中的a、b應分別為3x和2y。

正解：原式

（2）不記公式特點，亂用公式。

例8：分解因式：

誤解：原式

分析：對完全平方公式的特點認識不足，以至把誤認為是完全平方式。

正解：原式

（3）思維有局限，復雜式子中不會用公式。

例9：分解因式：

許多同學對此題束手無策，或誤解為原式。

分析：公式中的字母可以表示任何數、單項式或多項式。要避免把公式中的字母看成一個數的局限性。

正解：原式

4.4 分解不徹底

分解不徹底是分解因式時最容易犯的錯誤，應注意分解因式要分解到每個因式不能再分解為止。

例10：分解因式

誤解：原式

分析：分解出來的因式，沒有繼續分解徹底。

正解：原式

4.5 混淆了因式分解與整式乘法的區別

錯解例11：

（a2+1）2-4a2=（a2+2a+1）（a2-2a+1）=（a+1）2（a-1）2=（a2-1）2

分析：錯例11把已經分解完的因式 （a+1）2（a-1）2又進行了整式乘法運算，得 （a2-1）2，這是對因式分解的概念沒有理解所造成的。

4.6 漏掉了項中的字母

錯解例12：

5x2+6xy-8y2=（x+2）（5x-4）

分析：錯例12分解成的兩個因式之所以都漏掉了字母y，是由于受了第三項不含字母的二次三項式分解因式的影響，這是思維定勢的反映。

總之，因式分解的錯誤原因很多，要認真審題，深刻理解公式，牢記分解方法，并能靈活運用。以下口訣同學們在分解過程中不妨試一試，希望對你有所幫助：

首項有負常提負，各項有公先提公；

某項提出莫漏1，公式特點要牢記；

各個因式看仔細，括號里面分到“底”。

因式分解的內容滲透于整個中學數學教材之中。學習它，既可以復習初一的整式四則運算，又為本冊下一章分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。我們在教學過程中應予以足夠重視，從而促使學生更好地學好數學、用好數學，為我們的祖國培養更多更優秀的人才。

參考文獻

[1] 數理化學習：初中版[D].哈爾濱師范大學.