一次函數(shù)和二次函數(shù)中的“恒成立問題”

劉漢香

恒成立問題是歷年高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，在數(shù)學(xué)研究中有著很重要的價(jià)值，在一次函數(shù)和二次函數(shù)中有著很重要的應(yīng)用，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性 。

函數(shù)在給定條件的恒成立問題表現(xiàn)形式通常有以下幾種： 函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R、不等式的解為一切實(shí)數(shù)、在給定區(qū)間上某關(guān)系式恒成立、表達(dá)式的值恒大于a等……

一、一次函數(shù)型

給定一次函數(shù)y=f（x）=kx+b（a≠0），或者原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想可以利用一次函數(shù)知識(shí)求解。

若y=f（x）在[x1，x2]內(nèi)恒有f（x）>0，則根據(jù)函數(shù)的圖像（直線）可得結(jié)論等價(jià)于f（x■）>0f（x■）>0 。同理，若在x■，x■內(nèi)恒有f（x）<0，則有f（x■）<0f（x■）<0。

例1.已知一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+3m-4，若對(duì)任意x？綴[-2，2]，恒有f（x）>0成立，求m的取值范圍。

分析：本題是一次函數(shù)恒成立的問題，首先滿足其基本解題策略是利用數(shù)形結(jié)合思想，通過圖像可知函數(shù)圖像位于x軸上方，不論圖像是上升還是下降，都要滿足在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值大于0。

m≠6f（-2）>0f（2）>0 ，即m≠6-2m+12+3m-4>02m-12+3m-4>0。解得m>■且m≠6。

例2. 當(dāng)|a|？燮1時(shí)，若不等式x■+（a-6）x+9-3a>0恒成立，求x的取值范圍。

分析：本題是關(guān)于x的二次函數(shù)，出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a，還可看作是關(guān)于變量a的函數(shù)，則問題可轉(zhuǎn)化為在[-1，1]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題，這樣更為簡(jiǎn)捷。

原不等式轉(zhuǎn)化為（x-3）a+x2-6x+9>0。

令f（a）=（x-3）a+x2-6x+9，則由題意可知：

f（-1）=-（x-3）+x2-6x+9>0f（1）=x-3+x2-6x+9>0，整理得x2-7x+12>0x2-5x+6>0，解得x>4或x<3x>3或x<2。∴x？綴（4，+∞）∪（-∞，2）。

此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的圖像是一線段，位于x軸上方或者是下方，只需保證該線段兩端點(diǎn)函數(shù)值均大于0，或者小于0即可。

二、二次函數(shù)型

二次函數(shù)的問題是恒成立問題中出現(xiàn)頻率極高的類型題，是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，通常與三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)等類型題結(jié)合。這里介紹一下二次函數(shù)的簡(jiǎn)單基礎(chǔ)問題，其主要形式有：

（1）二次函數(shù)全體實(shí)數(shù)上的恒成立問題主要考慮開口方向和△。

（2）二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，轉(zhuǎn)化求最值或者是根的分布知識(shí)求解。下面針對(duì)這兩種類型給出例題解析：

例3. 已知函數(shù)y=■的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：mx2-6mx+m+8？叟0在R上恒成立，當(dāng)m=0時(shí)，8？叟0成立，符合題意；當(dāng)m≠0時(shí)，則m>0？駐=36m2-4m（m+8）？燮0，解得0

本題注意考慮根號(hào)下二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，結(jié)合分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想即可。

例4. 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+2在R上f（x）？叟0恒成立，求a的取值范圍。

分析：y=f（x）的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，由圖1所示：

略解：解得？駐=4a2+4a？燮0。

變式1：如圖2，若f（x）？叟0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，求a的取值范圍。

分析：此類型題屬于二次函數(shù)區(qū)間上恒成立問題，有兩種思路：①轉(zhuǎn)化求最值，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系；②利用根的分布知識(shí)結(jié)合圖像列出關(guān)系式求解。

解法一：f（x）=（x-a）2-a2+2，對(duì)稱軸為x=a。

①當(dāng)a<-1時(shí)，f（x）min=f（-1）=1+2a+

2？叟0，解得a？叟-■，∴-■？燮a<-1。

②當(dāng)a>1時(shí)，f（x）min=f（1）=1-2a+

2？叟0，解得a？燮■，∴1

③當(dāng)-1？燮a？燮1時(shí)，f（x）min=f（a）=-a+

2？叟0，解得-■？燮a？燮■，∴-1？燮a？燮■。綜上所述，-■？燮a？燮■。

解法二：？駐=4a2-8？燮0，解得-■？燮a？燮■。

？駐=4a2-8>0f（-1）？叟0f（1）？叟0a？燮-1或a？叟1，解得a？叟-■a（-1）？叟0a？燮■a？燮-1或a？叟1。

∴■

變式二：若f（x）？叟-1在區(qū)間[-1，1]上恒成立，求a的取值范圍。

分析：將-1移到不等式左邊，得到f（x）+1？叟0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，參照變式一得到結(jié)果，構(gòu)造新的函數(shù)g（x）=x2-2ax+3，則

g（x）？叟0在[-1，1]上恒成立。

解法一：g（x）=（x-a）2-a2+3，對(duì)稱軸為x=a。

① 當(dāng)a<-1時(shí)，g（x）min=g（-1）=1+2a+3？叟0，解得a？叟-2，∴-2？燮a<-1。②當(dāng)a>1時(shí)，g（x）min=g（1）=1-2a+3？叟0，解得a？燮2，∴1

解法二：？駐=4a2-12？燮0，解得-■？燮a？燮■。

？駐=4a2-12>0g（-1）？叟0g（1）？叟0a？燮-1或a？叟1，解得a？叟■或a<-■a？叟-2a？燮2a？燮-1或a？叟1。∴■

（遼寧省瓦房店市第八高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組）