由一道題想到的

張立宏

有這樣一道例題：同室四人各寫1張賀卡，先集中起來再進行分配，規定每個人不能拿自己寫的賀卡，問有多少種不同的分配方法？

分析：對于這道題目我們可以從兩個角度考慮：

4張賀卡編號為A、B、C、D后排成一排，要求A不在第一位，B不在第二位，C不在第三位，D不在第四位。依題意可列樹形圖如下：

B C D

A C D D D A C C A

D D A A B D B A B

C A C B A B A B C

由樹形圖可知：共有9種不同的分配方案。

觀察題目特點，我們可以逆轉思路。讓四個人去拿賀卡，分下列兩步進行：第一步：讓第一個人首先去拿，有3種方法。第二步：第一個人選中的賀卡是誰的就讓他接著選擇賀卡，有3種方法，剩下的兩個人的拿法只有1種。由分步計數原理可知有3×3=9種不同的方法。

變形引申：（1）我們改變題目中的數量關系可得如下問題：將標有1、2、3號的小球放到有1、2、3標號的盒子中，要求每個盒子放1個球，并且球的編號和盒子的編號不同，問有多少種不同的投放方法？

分析：由前面的問題可知：方法有2種。

（2）將（1）中球和盒子的個數增加到5個，有多少種不同的投放方法？

分析：此題若采用樹形圖的話，數量關系比較大，不易得出答案，所以我們采用計數原理解決。

從整體上分兩步：第一步：先放1號球，有4種不同的方法。第二步：假設第一步中1號球放入了5號盒，則我們第2次選擇放置5號球。在此我們放置5號球又可分為兩類：第一類：若5號球放入1號盒，則剩下的3個球的放法有2種。第二類：若5號球不放入1號盒，則我們可知有3種放法，則由前面的分析可知剩下的球有3種方法。

綜合一、二兩步可知有：4×（2+3×3）=44種放法。

總結：在上面的三道題中，我們充分利用了兩個計數原理，那么我們以后在解決類似問題時不妨將這三個結果當成結論應用到解決類似問題中。

練習：設有編號為1、2、3、4、5、6、7的7個球和編號為1、2、3、4、5、6、7的7個盒子，要求每個盒子中放入1個球，并且要求恰有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法有多少種？

分析：由題可知分兩步：①選出編號相同的兩個球有21種選法；②剩下的5個球的編號與盒子的編號各不相同，由前面的結論可知有44種不同的方法。

所以，由分步計數原理可知有21×44=924種方法。

由以上的介紹可知，我們在解題時對一些典型問題的處理方法和最后結論要引起注意，并且要適時應用到解題中，這樣可以拓寬我們的思路，節省我們的解題時間。

（河北省遵化市第一中學）