重視常見錯題的分析提高學生解題才能

張李斌 呂玉娟

高中數學與初中數學的基本區別在于：學生學習形式中的抽象思維開始由從經驗型占主導向理論型占主導的轉變。教師在教學過程中除了要傳授科目內容的“重點”的“難點”外，還需要向學生傳授解題應該必須的技能、技巧；同時，還應該在智力、能力、情感、價值觀等方面感染學生。因而，教師必須重視學生每次的作業質量，構建學生個人檔案，進行整理和歸納，做到“目中有人”“心中有人”，提高學生的解題才能。筆者通過連續幾年來認真觀察、分析學生解題過程的各類差錯，總結出以下幾種常見的情況。

一、目中無題

有些學生在解題過程中往往馬虎大意，在并未看清、看透題目的時候，憑空依照經驗主義動筆亂做，往往事倍功半，甚至勞而無功。究其原因，并非該錯之題，卻總是失分。

例1：設M={x|y=2x，x∈R}，N={x|y=x2，x∈R}，則（ ）。

A.M∩N={2，4} B.M∩N={（2，4）}，（4，16）}

C.M=N D.M？埭N

析：本題考查集合間關系，屬于基本題，雖然簡單，但是總存在部分學生會誤解為元素是兩函數圖像的兩個相交點，導致了錯誤。

二、概念不清

題目源于書本中定義、定理、性質。各類題目是由基本知識點在各個方面的具體考查。因而，學生解題應該從考查的本源出發，來鞏固書本知識點，多做題目，僅僅是從多個方面來了解學科重難點，提高自身解題的辨別能力和技巧。有時，盲目解題，會誤入只求數量、不求質量的情形。因此，學生在解題過程中要不斷分析、總結，要學會思考，即要知其所以然，想清楚解題過程中的審題、分析、解答的各個思維過程。然后還應該理解題目涉及的知識點、思想方法，能夠講出題目的結構、難點和易錯點，說出解題方法的解題規律，甚至能夠說出題目的變式和情境等。

例2：①函數y=f（x）的圖像與直線x=a有多少個公共點。

②已知函數y=f（x）的定義域為R，值域為[a，b]，求y=f（x-1）的值域。

析：本題考查函數的定義，如果學生對定義的要點不熟悉領會，就往往會不知所措。

三、缺乏整體思維

某些題目，從小處去看似乎條件或結論很冗繁，難于下手，但從大處觀察卻不難發現其隱匿一個整體的“核”，抓住此核，即可化難為易。因而，這類題目必須在解題前認真思索，總結歸納。

例3：數列為{an}正項等比數列，前n項和Sn=80，其中數值最大的項為54，前2n項和S2n=6560，求此數列的首項a1和公比q。

解：依題意：S2n>2Sn，所以q>1。

■=80……（1） ■=6560……（2） ，得：■=82，即：qn=81。

由題意，q>1，得第n項最大，即：an=54。

因而，54q=81a1。

將qn=81代入（1）得：a1=q-1……（3）

得：a1=2，q=3。

析：本題解方程組時，應把看作整體，從而取取得化繁為易的目的。

例4：設函數y=f（x）關于直線x=1對稱，在（-∞，1]上是單調減函數，解不等式f（a-1）>f（2a-1）。

解：由題意：（a-1）-1>（2a+1）-1。

兩邊平方化簡： 3a2+4a-4<0，得解集為（-2，■）。

析：本題意逐一分析a-1與2a-1與x=1的位置，往往顯得煩瑣，利用拋物線性質，開口向上的拋物線圖像中，離開對稱軸距離越遠，函數值越大，因而將（a-1）-1與（2a+1）-1整體思考，便達到了化繁為簡的目的。整體性解題思維的運用相當廣泛：解析幾何中用待定系數法求軌跡方程的角度把握，代數變形中某些“整體變量”用“整體代入”或“整體換元”，立體幾何中求點面距離用“設而不做”，不勝枚舉。

四、判斷欠透徹

題目往往隱含某些條件，在解題過程中，有些學生缺乏發現隱含條件的眼光，造成解題得不到滿分。

例5：已知0<？琢<？茁<？仔，-■，求sin（？琢+？茁）的值。

解：∵cos？琢=■∈（0，■），∴■<？琢<■。

∵sin？茁=■∈（■，■），∴■<？茁<■或■<？茁<■。

∵0<？琢<？茁<？仔， ∴■<？琢<■<■<？茁<■。

由題意：sin？琢=■， cos？茁=-■。

因而：sin（？琢+？茁）=sin？琢·cos？茁+cos？琢·cos？茁=■·（-■）+■·■=-■。

析：本題的難點在于判斷的位置，必須放在相同的單調函數中進行判斷與選擇。

例6：已知x1，x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，k∈R的兩個實根，求x12+x22的最大值。

解：由題意：x1+x2=k-2，x1·x2=k2+3k+5，則：f（x）=x12+x22=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19。

∵△=（k-2）2-4（k2+3k+5）？厶0，

∴-4？弁k？弁-■。

因此，f（x）=-（k+5）2+19，k∈[-4，■]。

由拋物線圖像，單調性得：f（x）max=f（-4）=18。

析：本題考查根與系數關系，一元二次方程存在根的充要條件，學生往往忽略△？厶0時k的范圍。

總之，提高學生的學習成績，要求教師持之以恒地觀察、引導學生探索解題技巧，總結題目類型。通過對學生錯題的分析，學生在學習過程中的各項弱點充分暴露出來，教師應進一步地全盤考慮班級學生的特點，優選練習，深入挖掘學生潛在的智力，從而提高學生的解題才能。

（江蘇省宜興市陽羨高級中學）