淺談如何用概率論證明數學中的不等式

周群

摘 要：概率論是數學的重要分支，有著自己的概念及其方法，內容豐富，在社會科學、自然科學及管理科學等多個領域均有所應用。不等式是數學中重要內容之一，其證明方法較多，但通過不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應用概率論證明數學中的不等式，以望對后期不等式證明提供參考。

關鍵詞：概率論 數學不等式 證明 分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0247-01

概率論是建立在微積分基礎之上的，沒有微積分的推動，也難以使概率論形成獨立的一門學科。隨著概率論研究的不斷推進，在各個領域均有所應用。不等式證明是高等數學較為常見的問題，對于學者來說也是難點。在證明不等式過程中，采用新穎的方法及獨特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統的微積分難以證明，而利用概率論時可從不等式的特點、函數性質及概率論性質出發，可達到證明不等式的目的。

1 概率論在數學不等式中的應用

概率論是研究偶然事件規律性的數學學科，它表示一個事件發生可能性大小的數，這個數是0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的量度，隨機事件就是表示在一定條件下可能發生也可能不發生的事件。一次實驗中包含了所有可能出現結果，其中的每一個結果就叫做一個基本事件。概率論和我們的生活息息相關，例如人們預測股票市場的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實際例子。概率有幾種不同的描述性定義。

1.1 統計定義

在同樣的條件下重復做N次試驗，表示在次試驗中事件所發生的次數，隨著的逐漸增大，在某個固定的數值附近出現的次數也越來越多，頻數越來越高，數值通常被稱為事件在該條件下發生的概率，記為。從統計定義可以看出數值就是事件發生可能性大小的一個數量指標。總是處于0和1之間，從統計定義中可以發現如下性質：對任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。

1.2 數學定義

假定試驗所有可能發生的結果的個數總和為，其中的每一個都有唯一一個實數和它對應，當這個實數同時滿足三個條件時，即（1）；（2）；（3）當每二個都互不相容時，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。

概率論的思想在數學中的應用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時概率論中的思想也包含了對于非等式問題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關應用。針對不同的不等式問題，需要構造不同的概率模型。例如對二項分布的研究就是一個明顯的例證。概率論早已用到了現實生活的各個領域，在高等數學的學習過程中，把概率論的思想和方法和高等數學緊密的結合起來，進一步加深了高等數學和概率論知識間的聯系，提高了分析問題和解決問題的能力。概率論的發展反過來也促進了其他數學學科的發展，尤其在為解決具體問題中提供了簡單、有效的方法；實踐證明通過用概率的性質、定理和公式對一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。

2 典型例題分析

通過以上不等式的證明，可以看到在對不同類型的不等式進行證明時，要注意構建相應不同的概率模型，再利用相關的性質進行證明，可以使不等式的證明簡單起來。

3 結語

不等式證明過程中應遇到具體問題具體分析，對同樣不等式的證明往往需要應用到不同的方法。因此，要熟悉高等數學和概率論的知識，在解題的過程中多總結、多思考，靈活運用各種解題技巧，進而提高解題效率。

參考文獻

[1] 崔小兵.概率論中不同條件下的Jensen不等式及應用[J].南陽師范學院學報，2010，9（9）：22-24.

[2] 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應用[J].太原科技大學學報，2011，32（6）：476-479.endprint

摘 要：概率論是數學的重要分支，有著自己的概念及其方法，內容豐富，在社會科學、自然科學及管理科學等多個領域均有所應用。不等式是數學中重要內容之一，其證明方法較多，但通過不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應用概率論證明數學中的不等式，以望對后期不等式證明提供參考。

關鍵詞：概率論 數學不等式 證明 分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0247-01

概率論是建立在微積分基礎之上的，沒有微積分的推動，也難以使概率論形成獨立的一門學科。隨著概率論研究的不斷推進，在各個領域均有所應用。不等式證明是高等數學較為常見的問題，對于學者來說也是難點。在證明不等式過程中，采用新穎的方法及獨特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統的微積分難以證明，而利用概率論時可從不等式的特點、函數性質及概率論性質出發，可達到證明不等式的目的。

1 概率論在數學不等式中的應用

概率論是研究偶然事件規律性的數學學科，它表示一個事件發生可能性大小的數，這個數是0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的量度，隨機事件就是表示在一定條件下可能發生也可能不發生的事件。一次實驗中包含了所有可能出現結果，其中的每一個結果就叫做一個基本事件。概率論和我們的生活息息相關，例如人們預測股票市場的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實際例子。概率有幾種不同的描述性定義。

1.1 統計定義

在同樣的條件下重復做N次試驗，表示在次試驗中事件所發生的次數，隨著的逐漸增大，在某個固定的數值附近出現的次數也越來越多，頻數越來越高，數值通常被稱為事件在該條件下發生的概率，記為。從統計定義可以看出數值就是事件發生可能性大小的一個數量指標。總是處于0和1之間，從統計定義中可以發現如下性質：對任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。

1.2 數學定義

假定試驗所有可能發生的結果的個數總和為，其中的每一個都有唯一一個實數和它對應，當這個實數同時滿足三個條件時，即（1）；（2）；（3）當每二個都互不相容時，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。

概率論的思想在數學中的應用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時概率論中的思想也包含了對于非等式問題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關應用。針對不同的不等式問題，需要構造不同的概率模型。例如對二項分布的研究就是一個明顯的例證。概率論早已用到了現實生活的各個領域，在高等數學的學習過程中，把概率論的思想和方法和高等數學緊密的結合起來，進一步加深了高等數學和概率論知識間的聯系，提高了分析問題和解決問題的能力。概率論的發展反過來也促進了其他數學學科的發展，尤其在為解決具體問題中提供了簡單、有效的方法；實踐證明通過用概率的性質、定理和公式對一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。

2 典型例題分析

通過以上不等式的證明，可以看到在對不同類型的不等式進行證明時，要注意構建相應不同的概率模型，再利用相關的性質進行證明，可以使不等式的證明簡單起來。

3 結語

不等式證明過程中應遇到具體問題具體分析，對同樣不等式的證明往往需要應用到不同的方法。因此，要熟悉高等數學和概率論的知識，在解題的過程中多總結、多思考，靈活運用各種解題技巧，進而提高解題效率。

參考文獻

[1] 崔小兵.概率論中不同條件下的Jensen不等式及應用[J].南陽師范學院學報，2010，9（9）：22-24.

[2] 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應用[J].太原科技大學學報，2011，32（6）：476-479.endprint

摘 要：概率論是數學的重要分支，有著自己的概念及其方法，內容豐富，在社會科學、自然科學及管理科學等多個領域均有所應用。不等式是數學中重要內容之一，其證明方法較多，但通過不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應用概率論證明數學中的不等式，以望對后期不等式證明提供參考。

關鍵詞：概率論 數學不等式 證明 分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0247-01

概率論是建立在微積分基礎之上的，沒有微積分的推動，也難以使概率論形成獨立的一門學科。隨著概率論研究的不斷推進，在各個領域均有所應用。不等式證明是高等數學較為常見的問題，對于學者來說也是難點。在證明不等式過程中，采用新穎的方法及獨特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統的微積分難以證明，而利用概率論時可從不等式的特點、函數性質及概率論性質出發，可達到證明不等式的目的。

1 概率論在數學不等式中的應用

概率論是研究偶然事件規律性的數學學科，它表示一個事件發生可能性大小的數，這個數是0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的量度，隨機事件就是表示在一定條件下可能發生也可能不發生的事件。一次實驗中包含了所有可能出現結果，其中的每一個結果就叫做一個基本事件。概率論和我們的生活息息相關，例如人們預測股票市場的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實際例子。概率有幾種不同的描述性定義。

1.1 統計定義

在同樣的條件下重復做N次試驗，表示在次試驗中事件所發生的次數，隨著的逐漸增大，在某個固定的數值附近出現的次數也越來越多，頻數越來越高，數值通常被稱為事件在該條件下發生的概率，記為。從統計定義可以看出數值就是事件發生可能性大小的一個數量指標。總是處于0和1之間，從統計定義中可以發現如下性質：對任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。

1.2 數學定義

假定試驗所有可能發生的結果的個數總和為，其中的每一個都有唯一一個實數和它對應，當這個實數同時滿足三個條件時，即（1）；（2）；（3）當每二個都互不相容時，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。

概率論的思想在數學中的應用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時概率論中的思想也包含了對于非等式問題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關應用。針對不同的不等式問題，需要構造不同的概率模型。例如對二項分布的研究就是一個明顯的例證。概率論早已用到了現實生活的各個領域，在高等數學的學習過程中，把概率論的思想和方法和高等數學緊密的結合起來，進一步加深了高等數學和概率論知識間的聯系，提高了分析問題和解決問題的能力。概率論的發展反過來也促進了其他數學學科的發展，尤其在為解決具體問題中提供了簡單、有效的方法；實踐證明通過用概率的性質、定理和公式對一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。

2 典型例題分析

通過以上不等式的證明，可以看到在對不同類型的不等式進行證明時，要注意構建相應不同的概率模型，再利用相關的性質進行證明，可以使不等式的證明簡單起來。

3 結語

不等式證明過程中應遇到具體問題具體分析，對同樣不等式的證明往往需要應用到不同的方法。因此，要熟悉高等數學和概率論的知識，在解題的過程中多總結、多思考，靈活運用各種解題技巧，進而提高解題效率。

參考文獻

[1] 崔小兵.概率論中不同條件下的Jensen不等式及應用[J].南陽師范學院學報，2010，9（9）：22-24.

[2] 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應用[J].太原科技大學學報，2011，32（6）：476-479.endprint