用定義法解決圓錐曲線問題在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王蓬

請看例題：例1：如圖1，已知橢圓C：■+■=1，左右焦點(diǎn)分別為M、N。點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)H在線段MP的延長線上，且NP=PH，求點(diǎn)H的軌跡。

分析：剛看到這道題目的時候，好多同學(xué)可能無從下手，覺得好復(fù)雜?。『枚嗤瑢W(xué)的解題思路會是這樣的：先假設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)M（3，0）、N（-3，0），PM、PN的長度就都能計(jì)算出來了，而且直線MP的方程也能計(jì)算出來了，這樣可以設(shè)出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后利用NP=PH進(jìn)行化簡?？墒莿倓傋龅竭@里的時候，好多同學(xué)就不想再做下去了，因?yàn)樾问教珡?fù)雜了?？墒俏覀冊俸煤萌シ治鲆幌逻@道題目，因?yàn)樗菣E圓，既然是橢圓，那么橢圓上任意一個點(diǎn)到M、N的距離之和不是一個定值嗎。這樣一來思路來了。

例2：如圖2，已知點(diǎn)Q為雙曲線C：■-■=1上的一個點(diǎn)，G，H為左右焦點(diǎn)，且QG⊥QH，求點(diǎn)Q到x軸的距離。

分析：當(dāng)我們看到這道題目的時候，大家第一反應(yīng)是求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)Q到x軸的距離就是點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的絕對值，這樣一來，我們可以假設(shè)點(diǎn)Q（x，y），又G（-5，0）、H（5，0），所以我們可以得出■=（x+5，y），■=（x-5，y），因?yàn)镼G⊥QH，所以■·■=0，所以（x+5，y），（x-5，y）=0，即x2+y2-25=0。又因?yàn)椤?■=1，將這兩個式子進(jìn)行聯(lián)立，就可以解除y，而點(diǎn)Q到x軸的距離便是y。這種方法相當(dāng)不錯的，可是里面運(yùn)算不是很簡便，而且容易出錯，尤其是含有平方，運(yùn)算要相當(dāng)小心。那么有沒有既方法簡單又運(yùn)算簡便的思路呢？

點(diǎn)評：當(dāng)我們看完這道題目的時候，我們會發(fā)現(xiàn)這道題目里面用到了雙曲線的定義，就是雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值，并且解答中采用的方程變形十分巧妙，最后運(yùn)用了直角三角形面積計(jì)算兩次的方法，成功得到了點(diǎn)Q到x軸的距離。而開始“分析”中的這種方法比較普遍，而且運(yùn)算不簡單。因此，這道題目充分體現(xiàn)了雙曲線定義的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

例3：如圖3，已知拋物線C∶y2=4x，它的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，直線m為y=x+2，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為H1，點(diǎn)P到直線m的距離為H2，求H1+H2的最小值。

分析：當(dāng)我們剛看到這道題目的時候，會想到，既然點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為H1，那么點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為H1+1，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離也為H1+1，過點(diǎn)P作PH⊥m于H，最終要求的即為PF+PH-1，因此，只要求出PF+PH的最小值就可以了。

下面，我們就給出這道題目的詳細(xì)解答過程：

解：由條件的F（1，0），準(zhǔn)線l∶x=-1， 將y=x+2代入y2=4x中得：x2+4=0，該方程無解，所以直線m與拋物線C無公共點(diǎn)。因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為H1，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為H1+1，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離也為H1+1，過點(diǎn)P作PH⊥m于H，所以H1+H2=PF+PH-1。當(dāng)F、P、H三點(diǎn)共線時，PF+PH的值最小，PF+PH的最小值就是點(diǎn)F（1，0）到直線m的距離。由點(diǎn)到直線距離公式可得：d=■=■=■■，所以H1+H2的最小值為■■-1。

點(diǎn)評：本題中用到的思想方法還是比較多的，而且比較靈活，不大容易想到。首先利用了拋物線的定義，其次在求解PF+PH的最小值的時候，運(yùn)用了“三角形兩邊之和大于第三邊，直角三角形中斜邊大于直角邊”這一知識點(diǎn)，最后介入了點(diǎn)到直線距離公式。

（江蘇省宜興市官林中學(xué)）