論“空間與圖形”對初中生思維能力的培養

羅惠尹

【摘 要】幾何學作為反映現實世界空間的一門學科，是學生認識現實世界的銳利武器。“空間與圖形”提供了現實世界的一個基本模型教學中應聯系實際，注重空間與圖形的概念的形成過程，培養抽象、概括的能力；注重揭示定理的形成過程，培養學生的歸納、類比、聯想、推廣的思維能力；注重強化基本圖形的識別，培養空間觀念和幾何直覺的思維能力；注重體驗解題的探索過程，在操作中領悟數學的思想方法，培養學生的創新思維能力。使學生在一個充滿探索的過程中感悟學習，從中感受數學問題發現的樂趣，樹立學好數學的信心，形成應用意識和創新意識。

【關鍵詞】空間與圖形；探索過程；幾何直覺

在認識數學與現實世界的密切聯系方面，“空間與圖形”的作用是不可替代的。圖形的直觀不僅為學生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，有助于學生獲得相應的知識和技能，而且為學生自主探索圖形的性質提供了方便，有助于培養學生的合情推理和演繹推理能力，引導學生感受數學的思想方法，享受學習數學的樂趣，逐步積累數學活動經驗，體驗數學推理的力量和證明的意義，發展空間觀念和自主創新的意識。根據空間與圖形的自身特點，“要讓學生親自經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，這不僅與學生的創新意識和實踐能力的培養緊密相連，而且是學生體驗、探索、經歷獲取知識的重要途徑.我就空間與圖形的教學作了如下探索：

一、聯系實際，注重空間與圖形的概念的形成過程，培養抽象、概括能力

空間與圖形的概念是從客觀世界中直接或間接抽象出來的，其定義大多采用“問題情景—抽取本質屬性—推廣到一般”的方法給出。在教師的引導下，讓學生以探索者的姿態出現，參與空間與圖形概念的形成的揭示過程，使其思維親身經歷一個由具體到抽象、概括事物本質的認知過程，領悟知識形成過程中隱藏的思維方法，則學生獲得的不僅是圖形的概念，更重要的是拓寬了思維空間，在掌握空間與圖形概念的同時，其概括能力也得到訓練。如“直線與圓的位置關系”教學設計：通過多媒體觀看雜技《獨輪車過鋼絲》，引起學生的興趣，播放車輪在鋼絲上的特寫，提出問題：你能把這一現象用幾何圖形來表示嗎？引起學生的數學思考。通過動手畫圖實踐，小組合作交流等形式，把實際問題轉化成數學問題，由學生自己發現直線與圓的位置關系，并合理分類。第一次通過直線與圓的交點的個數定量的刻畫直線與圓的位置關系。接著引導學生用語言描述三種位置關系，培養學生嚴謹的語言表達能力。進而探索圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數量關系：①引導學生類比點與圓的位置關系的性質與判定，通過畫圖、測量、分析等數學活動發現圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數量關系，第二次定量刻畫直線與圓的位置關系，滲透數形結合的數學思想；②通過小組交流與合作，交流學生自主探索的結果；③通過直線與圓的相對運動，揭示直線與圓的位置關系，培養學生的運動變化的辯證唯物主義觀點。最終解決引例中的問題。

二、揭示定理的形成過程，培養學生的歸納、類比、聯想、推廣的思維能力

空間與圖形中的定理的形成大致分為兩種情況：一是經過觀察分析，用不完全歸納法、類比方法等得出猜想，而后再尋求邏輯證明：二是從理論推導出發得到結論。如何在揭示定理過程中培養學生的能力，教學中要“推陳出新”，引導學生遵循從特殊到一般，從實踐到理論的認知規律。源于生活，創設問題情景，激活學生的思維，調動學生的自主性和創造性，探究討論，最終使問題得到解決。例如，等腰三角形性質的引入，可讓學生利用對折等腰三角形紙片，來發現等腰三角形的等邊對等角及底邊上的高線、底邊上的中線、頂角平分線互相重合這兩個事實，這一猜想對于不等邊三角形是否也具備？是不是所有等腰三角形都具有這兩個特點呢？再次實驗操作得出結論。然后分析證明猜想，形成定理。通過探究→猜想→歸納→論證，使學生了解發現真理的方法，體會證明的必要性。

三、強化基本圖形的識別，培養空間觀念和幾何直覺的思維能力

就初中生而言，“空間觀念”一般是指：能夠由實物的形狀想象出幾何圖形或由幾何圖形想象出實物形狀；能夠由復雜的平面圖形分解出簡單的、基本的圖形；能夠在基本的圖形中找出基本元素及其關系；能夠根據條件作出或畫出圖形，進行幾何體與圖形之間的轉化；能根據條件做出立體模型；能描述實物或幾何圖形的運動與變化；能采用適當的方式描述物體間的位置關系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。例如：圖1是由若干個小正方體搭成的幾何體，圖2是從圖1的上面看這個幾何體看到的圖形，那么從圖1的左邊看這個幾何體所看到的圖形是（ ）

學生可通過觀察、分析、思考與圖形有關的知識進行整理，能想象出實物與幾何圖形之間的內在聯系。

“幾何直覺”是具有意識的人腦對于數學對象、結構以及規律性的敏銳的空間想象和迅速的判斷，是想象和判斷的有機結合。幾何直覺以熟悉的知識及其結構為依據，使思維者可能實現跳躍、越級和采取捷徑并需要比較、分析、驗證結果，它是創造的先聲。創新，源于“問題”，往往發端于直覺。幾何圖形以直觀形象為學生進行自主探索、創新活動提供了更有利的條件，在借助圖形直觀進行合情推理的過程中，學生能增強探索的好奇心，加深對數學的理解，激發出潛在的創造力，逐步形成創新意識。例3：圖3，△ABC中，∠C=Rt，AC=4，BC=8，D是BC的中點，點M、N分別在BD、AC上，BM=CN=a，MN交AD于E，若以M、D、E為頂點的/角形與△ABD相似，則a的值為（ ）

此題若用常規的解法，不少學生感到困難。如果由點M、N的位置和我們所熟悉的知識就能得到MN與AB有平行和不平行兩種位置關系，可猜想選（C）或（D），再由當a=4時，點M與點D重合，則△DME不存在，排除（C），從而選（D）。此解法利用幾何直覺和合理推理，能激發學生學習數學的興趣，培養創新意識。在數學學習中，幾何直覺有時能產生意想不到的、甚至是奇妙的數學意境，幾何直覺的培養，將使思維的敏捷性、靈活性和創造性品質得到有益的發展。

重視培養學生的空間觀念和幾何直覺對學生學好整個中學教學有著重要的意義。在學習過程中，圖形的直觀性起著重要的作用。例3：一個扇形的半徑為R，一個圓的半徑為r，若扇形的弧長等于圓的周長，則（ ）

如果從條件：扇形的弧長等于圓的周長來聯想，我們可以構造一個圓錐模型，從而巧妙地把R和r聯系起來，即把扇形作為圓錐的側面，圓作為圓錐的底面，做成一個圓錐（如圖4，則R變成圓錐母線，r為底面半徑，在Rt△OAB中易得R>r），此解法能培養學生動手、動腦的能力，有利于學生發揮創造力和想象力。

實際上，數學通過數與形的聯系成為一個有機的整體，從某種意義來說，整個數學與圖形密切相關，所以，在幾何教學中必須重視培養學生的空間觀念和幾何直覺。

四、體驗解題的探索過程，在操作中領悟數學的思想方法，培養學生的創新思維能力

空間與圖形具有豐富的直觀背景，通過動手實踐，發現新結論，自主探索知識的發展過程，形成主動的學習活動，對培養學生的創新精神和創造能力起到較好的作用。如折紙活動就是一種動手動腦的益智游戲。小小紙片本身易于操作，在一定程度上適合中學生好玩好動的習性，妙趣驅動著學生的思維，使數學知識面的考查情趣化、生活化，貼近了現實。例如取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖（1）；第二步：再把點B疊在折痕線上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）；第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖（3）；利用展開圖（4）探究：①△AEF是什么三角形？證明你的結論。②對于任一矩形，按照上述方法是否能折出這種三角形？請說明理由。

題目給出實踐操作過程，然后探究新問題，此過程可以憑數學知識在頭腦中想，也可動手折紙操作，而學生更樂于接受后者，通過分組合作，折疊幾種不同類型的矩形紙片會發現：①△AEF是正三角形，②結論不一定，觀察圖（4）可知只有當矩形的長AD大于或等于正△AEF的邊長時才能折出。再通過證明歸納出當寬AB≤AD時一定能折出正三角形，當AD

新課標不僅關心知識、技能，而且強調中學數學的育人功能，按新課標的要求，空間與圖形的教學將更加關心學生的“態度、情感、經驗、生活、探究”，大力倡導“學生活動、自主發展、引導探究、合作交流、實踐創新”的學習方式，以真正體現“空間與圖形”的教育價值。

參考文獻：

[1]浙江省教育委員會.《義務教育全日制初級中學數學教學指導綱要》.浙江教育出版社，1997年11月9第二版

[2]王子興.《中學數學教育心理研究》.湖南師范大學出版社，1999年5月9第一版