論開放性題型對初中生數學思維培養的作用

凌永能

【摘要】本文在探討提高數學思維能力的基礎上，主要從設計開放性題型入手，論述其對數學教學中培養數學思維能力的重要性和可行性，以及培養學生數學思維能力的一些方法和途徑。

【關鍵詞】開放性題型；初中數學；思維能力

一、開放性題型對數學思維的重要性

開放型習題是相對有明確條件和明確結論的封閉式習題而言的，是指題目的條件不完備或結論不確定的習題。解答開放型習題，由于沒有現成的解題模式，解題時往往需要從多個不同角度進行思考和探索，且有些問題的答案是不確定的，因而能激發學生豐富的想象力和強烈的好奇心，提高學生的學習興趣，調動學生主動參 與的積極性。

練習是數學教學重要的組成部分，恰到好處的習題，不僅能鞏固知識，形成技能，而且能啟發思維，培養能力。在教學過程中，除了要注意增加變式題、綜合題外，適當設計一些開放性題型，可以培養學生思維的深刻性 和靈活性，克服學生思維的呆板性。培養學生的數學思維能力是素質教育的核心問題，幾乎人人在提，但是它在我們學校教育主陣地的課堂當中如何真正落實呢？這個問題似乎太大，一時間是難以解決的，正所謂“冰凍三尺非一日之寒。”對學生思維能力的培養是要常抓不懈的系統工程，只要每位教育工作者都充分重視起來，就能造就出更多卓越人才。

二、開放型習題對提高學生數學思維的作用

（一）注重開放性問題的發現和解決，培養學生數學思維

“問題”是數學思維的心臟，學生思維活動就是從問題開始的。以問題為中心的課堂教學是培養思維深刻性的好方法。同時，不定型開放問題，所給條件包含著答案不唯一的因素，在解題的過程中，必須利用已有的知識，結合有關條件，從不同的角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結論，從而更好培養學生思維的深刻性。

從“一元二次方程的根的判別式”的教學處理可見一斑：首先讓學生用公式法解下列方程： ， ， ；然后讓學生主動去探索老師設計的開放性問題：1、同是一元二次方程，其實根據的情況不同，這與求根公式中哪一部分的計算有關？2、一元二次方程的實根據情況與這部分值的正負又有什么關系？（學生歸納）3、以后請你判斷一元二次方程實根據的情況，是否還要通過解方程后再作定論？4、有什么快速判斷一元二次方程實根情況的方法呢？教師可以舉例：當k為何值時，關于x的方程 有兩個不相等的實數根。然后讓學生先嘗試，老師隨后點撥。這種“提問探究”式的開放性教學，不僅讓學生獲得數學知識，還訓練了學生獲得知識的思維過程。

（二）運用多向型開放題，培養學生思維的廣闊性

多向型開放題，對同一個問題可以有多種思考方向，使學生產生縱橫聯想，啟發學生一題多解、一題多變、一題多思，訓練學生的發散思維，培養學生思維的廣闊性和靈活性。這類題，可以給學生最大的思維空間，使學生從不同的角度分析問題，探究數量間的相互關系，并能從不同的解法中找出最簡捷的方法，提高學生初步的邏輯思維能力，從而培養學生思維的廣闊性和靈活性。

教師在教學過程中，要多運用多向型開放題培養學生思維的廣闊性。如在中學數學“三角形三邊關系”的教學中，我們一般是從兩方面去引導學生思考推理過程的。方法一是復習前面學過的公理“兩點之間的線段最短”，應用這個公理可以解釋三角形三邊關系。方法二是通過讓學生動手畫圖，任意畫一個三角形，測量a，b，c的長度，研究任何兩邊之和與第三邊的大小關系即可得出結論。再比如例題，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB的中點，求證：CE= 。很多學生都用“加倍法”或“折半法”解決了此題。就比如下面的方法一和方法二。方法一，取DC的中點F，連結BF，通過證△EBC≌△BDC即可。方法二，延長CE至G，使CE=EG，通過證△ACG≌△BDC。這時，教師應啟發學生，同樣是“折半”，只有取一線段的中點這種方法嗎？同學們躍躍欲試，這時我們就可以又得到下面幾種方法。方法三，通過B作BF∥AC，交CD于F，先證FC= ，再證△BEC≌△BFC即可。方法四，作BF∥CD，交AC于F，先證BF= ，再證△BEC≌△CFB即可。之后教師再啟發學生，上面的四種證法有什么共同點？學生總結出都做了輔助線，最后得出不做輔助線的解題方法。方法五 ∵AE=EB，∴ ；又∵AD=2AB，AB=AC，∴ ，∴ ，而∠A=∠A，∴△ACE∽△ADC，∴ ，∴CE= 。這個例題的處理啟發我們，培養學生的發散思維，就是要學生主動地尋求問題“一解”之外的思路，鼓勵學生面對問題能夠擺脫常規思路的支配，學會解開放性題型，“標新立異”，舉一反三，觸類旁通，這樣，才能達到增強思維靈活性、創造性的目的。為培養學生的發散思維能力，教師在講課時對同一問題可用不同的方法進行多方位講解或給出不同的答案；要注意為學生布置能鍛煉發散思維的作業，如答案不唯一，需要分情況討論的問題，對同一問題可采用不同變式讓學生練習，要鼓勵學生一題多解。

（三）運用缺少型開放題，培養學生思維的靈活性

缺少型開放題，按常規解法所給條件似乎不足，但如果換個角度去思考，便可得到解決。比如：在一個面積為12平方厘米的正方形內剪一個最大的圓，所剪圓的面積是多少平方厘米？按常規的思考方法：要求圓的面積，需先求出圓的半徑，根據題意，圓的半徑就是正方形邊長的一半，但根據題中所給條件無法求出。換個角度來考慮：可以設所剪圓的半徑為r，那么正方形的 邊長為2r，正方形的面積為（2r）[2]=4r[2]=12，r[2]=3，所以圓的面積是3.14×3=9.42（平方厘米）。但是還可以這樣想：把原正方形平均分成4個小正方形，每個小正方形的邊長就是所剪圓的半徑，設圓的半徑 為r，那么每個小正方形的面積為r[2]，原正方形的面積為4r[2]，r[2]=12÷4，所剪圓的面積是3.14×（12 ÷4）=9.42（平方厘米）。通過此類題的練習，有利于培養學生思維的靈活性，提高靈活解題的能力。

總之，解答開放型習題，由于沒有現成的解題模式，往往需要從多個不同角度進行思考和深索，因而能激發學生豐富的想象力和強烈的好奇心，它是培養思維能力的重要手段，只要我們重視學生在獲取和運用知識的過程中，培養學生的思維能力，定會達到減輕學生負擔，提高學生數學素質的目的。

參考文獻：

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