對不同學校類別教育經費投資問題的主成分分析

孫夢野

摘 要：21世紀是知識經濟的時代，教育在推動國家經濟發展中占有重要的戰略地位。本文根據我國各地區教育經費投資的特點，利用R軟件對不同學校類別教育經費的投資進行主成分分析，初步建立了一套以5個變量為指標的教育投資發展評價體系，從總體上為我國教育投資提供了一定的參考價值。

關鍵詞：教育；R軟件；主成分分析

一、主成分分析法

主成分分析（Principal Component Analysis,PCA）也稱主分量分析或矩陣數據分析，是統計分析常用的一種重要方法，是一種將數據集簡化的技術，在系統評價、質量管理和發展對策等許多方面都有應用。主成分分析法利用降維的統計原理，將多指標轉化為少數幾個綜合指標的統計分析方法，這些主成分能夠反映原始變量的大部分信息，通常情況下它們表示為原始變量的線性組合。

二、主成分分析法思想

主成分分析的基本思想：設x=(x1，x2，……，xp)是一個P維隨機向量，其二階矩存在,記E(X)=L，D(X)=，選取常數向量I，在Ii′Ii=1，i=1，2，……P的條件下，考慮它的線性變換:

Y1=I′1X=i11X1+…+i1pXp

Y2=I′2X=i12X1+…+i2pXp

YP=I′PX=iPPX1+…+iPPXp

如果用Y1來代替原來的P個變量x1，x2，…，xp就要求Y1盡可能多地反映原來P個變量的信息，由理論知道Var(Y1)越大表示包含的信息越多。如果一個主成分不能夠完全代表原P個變量的信息，可以采用Y2，若想有效地代表原變量的信息，原來的Y1的信息就沒有必要出現在Y2中，也就是Cov(Y1，Y2)=0。求Y2就是在約束條件下求I2，使得Var(Y2)達到極大，所求得的Y2稱為第二主成分。同理可以定義第三主成分、第四主成分。為第i個主成分Yi(i=1，2，…P)的貢獻率，它的大小可以反映了x1，x2，…，xp的信息多少。使用主成分分析的目的就是為了減少變量的個數，因此一般不用P個主成分，而是根據問題的需要用m(

三、結果分析

選取的教育經費的指標為：x1為國家財政性教育經費，x2為預算內教育經費，x3為民辦學校教育經費，x4為社會捐贈經費，x5為事業收入。利用R軟件分析，結果如下：從表1可以看出，第一主成分特征值大于1，第一、二、三主成分的方差貢獻率分別為67.21%，24.71%，6.9%，前三個主成分的累積方差貢獻率為98.85%，大于85%，已包含全部信息的絕大部分，因而可以用彼此不相關的3個綜合指標Y1，Y2，Y3代替原有的7個指標的信息。

表1 主成分特征值、方差貢獻率、累計方差貢獻率表

[Component&Standard deviation&Proportion of Variance&CumulativeProportion&1&2.3421544&0.7836696&0.7836696&2&0.9251628&0.1222752&0.9059448&3&0.60549516&0.05237491&0.95831969&4&0.4675298&0.0312263&0.9895460&5&0.263739449&0.009936928&0.999482920&]

表2 因子系數

[&Comp.1&Comp.2&Comp.3&Comp.4&Comp.5&x1&0.409&&0.433&-0.192&0.293&x2&0.405&&0.451&-0.216&0.318&x3&0.287&0.698&-0.581&&0.301&x4&0.346&-0.451&-0.432&-0.666&-0.197&x5&0.420&&&0.183&-0.491&]

根據5個指標的系數（表2），可以得到以下結果：

Y1=-0.338x1-0.337x2-0.337x3-0.418x4-0.399x5

Y2=0.513x1+0.514x2-0.189x3+0.292x4-367x5

Y3=0.911x3-0.186x5

第一主成分Y1對應系數的符號都為負，其值在-0.419～-0.337之間，說明各類學校教育經費投資情況不是很好，但也有一定的發展。

第二主成分Y2對應系數有正有負，說明有某些不確定的因素對教育經費的投資產生了影響。

第三主成分Y3對應系數有正有負，說明某些不確定的因素對教育經費的投資產生了影響。

參考文獻：

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