緩解十字路口堵車問題的數學模型設計

胡帆 劉洋 黃林甫

摘 要：隨著社會經濟的迅速發展，交通道路堵塞已成城市熱點問題。本文以武漢市洪山區民族大道與雄楚大道交匯的十字路口為例，建立通行車流量模型尋求紅綠燈設置的最優時間，以緩解十字路口的堵塞現象。

關鍵詞：車流量；紅綠燈；通行車流量模型

一、雄楚—民族路口通行現狀分析

1.雄楚—民族路口介紹

雄楚大道與民族大道位于武漢市洪山區，其交匯處十字路口是洪山區的一個交通樞紐地帶，經常出現堵塞現象。

2.雄楚—民族路口車流量調查

考慮到不同時間段車流量不同，調查選取一周中不同時間段，通過歷時兩個月的實地調查，獲取了雄楚—民族十字路口的車輛通行量等實際數據。

二、模型建立與求解

1.模型建立

設坐標軸X軸表示車輛行駛道路，原點O表示紅綠燈的位置，X軸正向表示車輛行駛方向，綠燈亮為計時起點，紅燈前第n輛車啟動時間t后在X軸上的位置為Xn(t)，車輛長l，兩車間距為d。則第n輛車在初始位置的坐標為：Xn(0)=-(n-1)(l+d)。設汽車從綠燈亮到t時刻先做勻加速運動，再做勻速運動，a為汽車加速度，v為汽車在道路行駛的速度，T為上一輛車到下一輛車啟動的延時時間。到t時刻，汽車運動分為三個階段：（1）延時時間t1=(n-1)T；（2）加速運動時間t2=；（3）勻速運動時間t3=t-t1-t2。所以：Xn(t)=Xn(0)++v(t-t1-t2)。根據實際調查：l=4m，d=1m，a=2m/s2，T=1s，v=10m/s，則得到：Xn(0)=-4(n-1)，t1+t2=n+4，Xn(t)=10t-14n-11。當t取一個綠燈周期，Xn(t)取0時，表示在綠燈周期內，有n輛車到達紅綠燈的位置，即在時間周期t內能通過的車流量為n。故解出模型可得：n=。

2.基于模型計算十字路口各方向通行量

從調查可知：十字路口向東行駛綠燈時間為45秒，向西行駛綠燈時間為40秒，向南行駛綠燈時間為45秒，向北行駛綠燈時間為65秒。根據公式得到綠燈時間內各方向最大車輛通行量：n東=31，n西=28，n南=31，n北=46。

3.雄楚——民族路口紅綠燈時間設置合理性分析

根據對8:00-10:00，11:00-13:00，16:00-18：00的時間段進行為期兩個月的數據采集調查，得到雄楚——民族路口實際通行車流量，并將其與最大通行量對比分析合理性，可知向南向西向北綠燈時間設置不合理，得到表格如下：

[&左轉&直行&實際車流量&允許最大通行量&是否合理&向東路口&13輛/45秒&17輛/45秒&30輛/45秒&31輛/45秒&是&向西路口&15.2輛/40秒&22輛/40秒&37.2輛/40秒&28輛/40秒&否&向南路口&20.8輛/45秒&35.2輛/45秒&56輛/45秒&31輛/45秒&否&向北路口&19.8輛/65秒&48輛/65秒&67.8輛/65秒&46輛/65秒&否&]

4.十字路口紅綠燈時間設置不合理原因分析

該十字路口由于四個方向車流量不同，但是紅綠燈時間設置差距不大，導致向北的車輛經常滯留；而且實際通行中，直行車輛占據左右車道也降低了通行效率。

三、雄楚—民族路口紅綠燈設置改進意見

雄楚—民族大道路口紅綠燈時間設置不合理，是導致南北方向通行車輛滯留的主要原因。應根據不同方向通行情況設置紅綠燈時間，以提高道路的最大通行能力。

1.綠燈最優時間推算

設t1為直行綠燈時間，t2為左轉綠燈時間，H為單位時間直行車輛數，L為單位時間左轉車輛數。t1=，t2=。

通過公式以及實際交通量推算得到各十字路口左轉及直行綠燈最優時間表：

[&實際綠燈時間（左轉）&實際綠燈時間（直行）&最優綠燈時間（左轉）&最優綠燈時間（直行）&向東路口&45秒&45秒&35秒&40秒&向西路口&40秒&40秒&45秒&45秒&向南路口&45秒&45秒&60秒&60秒&向北路口&65秒&65秒&80秒&80秒&]

2.檢驗最優時間合理性

用最優綠燈時間進行路口通行模擬，計算在交通繁忙時段各路口的最大車輛滯留量，發現最大車輛滯留量明顯下降，故得到的綠燈最優時間合理。

3.緩解交通壓力的其他建議

在十字路口建設地下通道，緩解交通壓力，實現人車分流。紅綠燈使用數字式紅綠燈，車輛在通過時根據紅綠燈的時間來確定能否通過路口，提高通行效率。