一道習(xí)題的拓展與延伸

黃愛國

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)整體是比較抽象與枯燥的，不少學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)習(xí)中，如何把枯燥的變成有趣的，是擺在每個(gè)教師眼前的重要課題，通過引領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本中一道習(xí)題的變化，讓學(xué)生經(jīng)歷題目從簡(jiǎn)單到復(fù)雜一步一步地延伸，及對(duì)條件的不斷前移、植入，產(chǎn)生新的題目，引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步深入，拉長(zhǎng)了學(xué)生的思維鏈，既摒棄了傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)，也促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維向深層發(fā)展，讓學(xué)生在變化中體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在美的魅力，從內(nèi)心激發(fā)學(xué)生的興趣。

關(guān)鍵詞：一題多變；思維深度；類比；聯(lián)想；配方法；內(nèi)在美

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常用一題多變、一題多解來訓(xùn)練學(xué)生的解題思路，如果能經(jīng)常讓學(xué)生體會(huì)一題多變，可以讓學(xué)生更深入地掌握數(shù)學(xué)方法，拓寬學(xué)生的思維。下面僅以初一一道練習(xí)題為例給予說明。

原題：已知a-2b=4，ab=8，求a2+4b2的值。

解：a2+4b2

=（a-2b）2+4ab

=42+32

=48

分析：原題就是直接利用配方法求代數(shù)式的值。

變式1：條件不變，求（a+2b）2的值。

解：（a+2b）2

=a2+4b2+4ab

=（a-2b）2+8ab

=80

分析：此題的結(jié)論是在前一個(gè)基礎(chǔ)上增加一個(gè)先展開，然后再配方，有一個(gè)公式的正逆運(yùn)用，比原題更進(jìn)一步。

變式2：條件不變，求a4+16b4的值。

解：a4+16b4

=（a2+4b2）2-8a2b2

=［（a-2b）2+4ab］2-8a2b2

=1792

分析：此題是在原題的基礎(chǔ)上增加了二次配方，顯然離條件更遠(yuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)一步深入。

變式3：若把條件前移，結(jié)論不變，則此題可變?yōu)椋?/p>

已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求a2+4b2的值。

解：根據(jù)題意得：a-2b=4，ab=8

（其余做法同原題）

分析：此題與原題相比，是把條件隱含了，需自己創(chuàng)造求值的條件。

變式4：已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求a4+16b4的值。

解：（是變式2與變式3的結(jié)合）

分析：不難發(fā)現(xiàn)，此題的變化實(shí)際是條件與結(jié)論向兩邊延伸，把思維鏈拉長(zhǎng)，拓寬了思維空間，考驗(yàn)學(xué)生的思維深度，是我們數(shù)學(xué)題變化的主要方法。

變式5：已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求（a2-4b2）（a2b+2ab2）的值。

解：根據(jù)題意得：a-2b=4，ab=8

（a2-4b2）（a2b+2ab2）

=（a-2b）（a+2b）·ab（a+2b）

=ab（a-2b）［（a-2b）2+8ab］

=2560

分析：此題實(shí)際是在條件不變的情況下，在結(jié)論中植入了乘法分配律和平方差公式兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，使整個(gè)題上升到一個(gè)新的層次。

通過以上幾例可以看出，變式1、2都是結(jié)論的不斷深入，變式3是條件前移，變式4是把以上二者相結(jié)合，而變式5是在原題的基礎(chǔ)上植入新的知識(shí)點(diǎn)，他們無論怎樣變化，歸根結(jié)底都需要配方法來解決問題。

以上幾個(gè)小題通過把條件前移與結(jié)論延伸相結(jié)合，由淺入深，開闊了學(xué)生的視野，讓學(xué)生在做題中體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在的變化美，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；也教給學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中注意類比、聯(lián)想，找出題目之間內(nèi)在的聯(lián)系，從深層去理解問題，學(xué)會(huì)思考。

編輯 孫玲娟