淺談數學知識在解物理習題中的運用

蘇巧紅

摘 要：數學和物理密切相關，在解決物理問題的過程中經常要運用到數學知識。從解物理習題的角度介紹數學知識在物理學中運用的幾個例子。

關鍵詞：數學知識；排列組合；二次函數；均值不等式

高考物理的《考試說明》中對學生的能力要求有五個方面，其中第四方面即為應用數學方法處理物理問題的能力。靈活運用數學方法處理物理問題是物理試題的一大特色。一部分人感覺物理難，其中一點就在于數理結合運用不好。因此我們要善于總結中學物理涉及初等數學的主要知識點，以提高運用水平。本文從解物理習題的角度介紹數學知識在物理學中運用的幾個例子。

一、利用排列組合知識，解能級躍遷與光譜線問題

例1.一群大量氫原子處在第四軌道，當氫原子在這些能級間躍遷時，共能放出幾種能量的光子？

解析：原子躍遷可能出現在任意兩條軌道之間，因而應有C24 條亮線，即C24=6條。

二、利用二次函數知識，解極值問題

研究物理學中的極值、最值問題，首先要得到一個函數式，然后，才能利用這個函數式進行推算，運用二次函數的知識求解。

例2.電源電動勢為E，內阻為r，外電阻為R，求外電路電阻R為多大時，電源的輸出功率為最大？最大值為多少？

解析：電流輸出功率就是電源向外電路R提供電能的功率。根據P=I2R可知，為了研究P和R的關系，將等式右邊化成單一變量。因為I=■，所以P=I2R=■R，其中E，r為常量，電阻R是自變量，輸出功率P是R的函數。這個函數式是一個分式函數。我們可以用配方法來解出極值。

P=■R=■，當R=r時P取得最大值，最大值為Pmax=■

三、利用均值不等式知識，解極值問題

均值不等式：對于n個正數a1，a2…an它們的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即■≥■當且僅當a1=a2=…an時，等號成立。

一般地，從均值不等式可以得到以下結論：對若干個正數，如果它們的和是定值，則當且僅當這若干個正數相等時，它們的積取最大值。

例3.電量為Q，分配給兩個相距為R的質點，使之成為兩個帶電體Q1和Q2，則當電量如何分配時，兩個帶電體之間的庫侖力最大？

解析：根據庫侖定律F=■，依題意可知電量Q1+Q2=Q（定值），當Q1=Q2=■時，庫倫力F取最大值。

四、利用函數y=kx+b圖象，解一些力學、電學問題

函數y=kx+b，斜率為k，截距為b，它的圖象是一條直線。利用它可以很方便地解決一些力學、電學問題。

例4.（2011·重慶高考）某同學設計了如下圖所示的裝置，利用米尺、秒表、輕繩、輕滑輪、軌道、滑塊、托盤和砝碼等器材來測定滑塊和軌道間的動摩擦因數μ。滑塊和托盤上分別放有若干砝碼，滑塊質量為m1，滑塊上砝碼總質量為m′，托盤和盤中砝碼的總質量為m。實驗中，滑塊在水平軌道上從A到B做初速為零的勻加速直線運動，重力加速度g取10 m/s2。

■

（1）為測量滑塊的加速度a，須測出它在A、B間運動的________與________，計算a的運動學公式是________；

（2）根據牛頓運動定律得到a與m的關系為：a=■-μg

他想通過多次改變m，測出相應的a值，并利用上式來計算μ。若要求a是m的一次函數，必須使上式中的________保持不變，實驗中應將從托盤中取出的砝碼置于________；

（3）實驗得到a與m的關系如下圖所示，由此可知μ＝ （取兩位有效數字）。

■

解析：（1）由s=■at2，得a=■，可見要測出滑塊在A、B間的位移s和運動時間t。

（2）a=■m-μg與數學中的一次函數y=kx+b類比， a是m的一次函數，■m就相當于圖象的斜率。為了保證圖象的斜率不變，必須使m＋m′保持不變，這就要求實驗中從托盤中取出的砝碼置于滑塊上。

（3）由a=■m-μg得a+μg=■m。取a1=0.23 m/s2，m1=0.064 kg；a2=0.39 m/s2，m2=0.068 kg。則■=■，解得μ=0.23。

五、利用幾何知識，解帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的問題

解決帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動這類問題，關鍵是在分析粒子所受洛倫茲力基礎上，畫出帶電粒子做圓周運動的軌跡和圓心位置，再由幾何知識求出半徑和與軌跡對應的圓心角，利用半徑公式和周期公式求解有關問題。

例5.（高考題）在以坐標原點O為圓心，r為半徑的圓形區域內，存在磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖所示，一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x方向射入磁場，恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出。

（1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷；

（2）若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應強度的大小變為B′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求磁感應強度B′和此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？

解析：（1）如圖所示，從粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負電荷。粒子由A點射入。由C點飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑R1=r。

根據牛頓第二定律有qvB=m■，■=■。

（2）粒子從D點飛出磁場，速度方向改變了60°角，故AD弧對圓心角為60°，粒子做圓周運動的半徑R2=■＝■r，R2=■，B′＝■B，粒子在磁場中飛行時間t=■T=■=■。

數學知識在解物理習題中的運用，除了上面舉的幾個例子外，三角函數、微分、比例、圖象等這些數學知識也經常會用到。數學知識已滲透到物理問題的方方面面，因此，在學習中應善于利用有關的數學知識解決物理問題，以培養自己正確分析物理過程和運用數學工具解決物理問題的能力。

參考文獻：

［１］張士軍．利用均值不等式求解物理極值問題．教師，2009（6）．

［2］楊息祥．物理學中極值問題的應用．考試周刊，2012（64）．

編輯 李建軍