分解速度 簡化解題

龔志會

摘 要：速度是矢量，可以進行合成與分解。在解決高中物理的很多問題時，分解速度都會使解題變得簡單，特別是對于輕繩連接的物體。選擇了幾個具體實例，其中涉及分析物體受力、動能定理、機械能守恒定律、光學等知識，體現了分解速度的思想對解題的簡化。

關鍵詞：速度；矢量；分解；連接體

速度是矢量，所以速度的運算應該滿足矢量運算法則，即速度可以進行合成與分解。直接應用常見的是“用繩子連接的兩個物體，由于繩的傾角等因素，求解繩兩端所連接物體速度大小關系”。其實不僅限于此，“速度的分解”與物體受力、能量、光學等知識都可以聯系在一起。下面就幾個具體應用進行討論。

簡化解決連接體問題：

例1．如圖所示，在離水面高H的岸邊有人以大小為v0的速度勻速收繩使船靠岸。當船與岸上的定滑輪水平距離為x時，船速是多大？

解答：收繩時使船靠岸，船水平向左運動（船的實際運動方向）是合運動，其速度為v。可看成是由兩個運動的合運動：即一個分運動是沿繩收縮方向，速度大小v1=v0；另一個是垂直于繩使繩擺動的方向，設速度大小為v2。

設此時繩與水平面的夾角為θ，則

cosθ=■，由圖可以看出：v=■·v0

本題中，要通過速度的分解，找到收繩的速度與船實際速度的關系式，從而解決問題，是速度分解的基本應用。

簡化解決受力分析問題：

例2．如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，小車勻速向右運動時，物體A的受力情況是

A.繩的拉力大于A的重力；

B.繩的拉力等于A的重力；

C.繩的拉力小于A的重力；

D.繩的拉力先大于A的重力，后變為小于A的重力。

解答：物體A和小車通過繩子連接，其中，物體A的速度方向沿繩，而小車的實際速度水平向右，所以，小車的速度可分解為兩個分速度：其中一個沿繩收縮的方向，速度大小與A速度大小相同，設為vA；另一個是垂直于繩使繩擺動的方向，設為v1.

設繩與水平方向的夾角為θ，則如右圖所示，

vA=v車cosθ，由于車向右運動速度v車不變，夾角θ變小，其余弦值變大，所以vA變大，即A物體速度一直增大，所以A物體具有向上的加速度，則繩的拉力大于A的重力。選項A正確。

通過本題我們不難看出，繩兩端連接的物體，由于繩夾角的變化，可以通過速度的分解找到一端物體速度的大小變化，根據這一定性的變化，可以判斷加速度方向，根據牛頓第二定律，即可判斷物體所受繩子拉力大于物體重力。

簡化解決動能定理問題：

例3．一輛汽車用如圖所示的細繩提起井中質量為m的物體，開始時，車在A點，繩子已經拉緊且是豎直，左側繩長為H，提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A經過B駛向C。設A到B的距離也為H，車過B點時的速度為v。求車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功。設繩和滑輪的質量及摩擦不計，滑輪尺寸不計。

解答：

由汽車的速度入手分析，汽車運動的實際速度為沿水平方向向左，經此位置時速度大小為v，可以分解為兩個方向分速度。一個為沿繩方向設為v1，與物體上升的速度相同；另一個為垂直于繩的設為v2。如圖所示：

則：vcos45°=v1

對m分析，繩Q端的拉力對物體做正功，物體重力做負功，物體動能增加。

根據動能定理得：W-mg■-H=■mv21

W=mg（■-1）H+■mv2

簡化解決機械能守恒定律問題：

例4．物體A質量為mA=10 kg，置于光滑的水平面上，物體B的質量為mB=1 kg，用輕繩通過兩等高的定滑輪與A連接，如圖所示，h=0.5 m，A、B由圖示位置從靜止開始釋放，此時θ=30°（忽略繩與滑輪間的摩擦及滑輪的質量），求（1）運動過程中A物體的最大速度vA的大小；（2）當繩與水平方向夾角為60°時A的速度為多少？

解答：

（１）當A物體達到最大速度時，連接A的輕繩處于豎直方向，則此過程中，連接B的繩端點高度下降，B物體重力勢能減少，A動能增大，由能量守恒得：

mBg■-h=■mAv2A

vA=1 m/s

（2）當繩與水平方向夾角為60°時，A、B物體均具有動能。此時，A物體速度沿水平方向向左設為v，B物體速度沿繩所在方向，設為vB，則v·cos60°=vB

根據能量守恒：mBg■-■=■mAv2+■mBvB2

解得：v2=0.82 v≈0.9 m/s

這兩個例題中，兩物體通過繩子相連接，組成一個系統，完成一段運動過程。在例3中，要求出繩端點處拉力對物體做的功，由于題目中沒有明確拉力是恒力還是變力，所以，應選擇用動能定理解題。而題目中的已知條件是經B位置時汽車的速度大小，就要把汽車在B點的速度分解，根據兩速度的關系，找到物體此時的速度大小，再結合動能定理，本題不難求解。

在例4中，兩物體和繩組成的系統機械能守恒，但是一個機械能守恒的方程不能同時求解出兩個物體此時的速度大小，所以還要分析兩者速度的大小關系，這就要用到速度的合成與分解。通過這個速度關系的輔助方程，本題不難求解。

簡化解決光學問題：

例5．如圖所示，點光源S發出的光通過光屏AB上的孔Q射到平面鏡M上，光屏與平面鏡初始位置平行，光線SO方向與平面鏡初始位置垂直，且OQ=d，當平面鏡繞過O點的轉軸以角速度ω逆時針轉過30°時，光線SO經平面鏡反射在光屏AB上的光點P沿AB移動的瞬時速度為.

解答：

平面鏡轉過30°角度，則法線轉過30°角，那么反射光線相對于原來位置轉過60°角，所以此時OP連線與OQ連線夾角為60°。對于光點P在光屏AB上的運動實際在豎直方向上設為vP，所以P點可以看作兩個方向分運動的合成，即一個是沿OP方向延伸的速度，方向由O指向P，設為v1；另一個是光線繞O點的轉動，方向垂直于OP指向左上方，設為v2。如圖所示：

則vPcos60°=v1

根據光學知識v1=2ω·OP，

由幾何知識，OP=2d

聯立解得：vP=8ωd

在本題中提到的光點P實際是光線OP與光屏AB的交點，光線OP隨平面鏡繞O點逆時針轉動，而光屏AB位于豎直面內，所以光點實際運動沿著豎直方向。由已知條件，可以根據角速度就得光線OP轉動的角速度，進一步即可求得光線OP上的點繞O轉動的線速度，所以，要根據速度的分解找到P點沿光屏移動的實際速度與繞O逆時針轉動的線速度之間的關系，從而解得P點的實際速度。

綜上，分解速度，不僅是求解“繩連接物體”瞬時速度關系的一種方法，還經常與其他知識相結合用來解題。在解題時巧用速度的分解，可以簡化解題。

以上僅為個人的一點感受，如有不足之處，歡迎批評指正。

編輯 李建軍