二重積分在儲油罐發生變位時的儲油模型中的應用

黃春妙 汪繼秀

摘 要 本文主要利用二重積分求立體體積的方法解決如下問題：當儲油罐發生變位時，油位高度和儲油量的變化關系。可建立如下模型：當罐體發生縱向位傾斜角時（以 = 4.1拔枚鼗炙慍齟⒂土康奶寤齎與油位高度的函數表達式，由函數表達式畫出函數圖像，由圖像進行最小二乘法擬合，得到如下模型： = -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.00440050.00032896 + 0.0084474根據模型可得到罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。

關鍵詞 最小二乘法 二重積分 曲線擬合 數值分析 matlab

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A

許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變。按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定。為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用圖1的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），當罐體發生傾斜角為 = 4.1暗淖菹蟣湮皇保⑹P脫芯抗尢灞湮緩蠖怨奕荼淼撓跋臁2⒏齬尢灞湮緩笥臀桓叨燃涓粑？cm的罐容表標定值。

首先建立空間直角坐標系，如圖2所示，以探油針所在直線為軸，過探針與油桶的底部交點，利用橢圓柱的直母線作軸，再以交點作原點建立三維空間笛卡爾直角坐標系。

根據圖2建立橢圓柱面的方程為： + = 1其中 = 0.89， = 0.6。

當桶內有油時，油面與水平面是平行的，當桶發生生變位時，油面與平面成角。當油針所在位置為油高時，油面可建立平面的方程為：

+ + + = 0（≠0），

由方程可知該平面過點（0，0，）和點（0，，0）且與面（ = 0）的夾角為，可建立方程：

整理上述方程組（1）得

解方程組（2）得 = 0。

所以平面方程為：

+ = 0即 = + = 0。

若平面經過原點，則平面方程為：

+ = 0即 = - 0。

油平面截橢圓柱面所得下半部分的體積，利用二重積分可將體積表示如下：

（1）當油還沒有到達探針底部時 = 0， 0≤≤，

= 2，其中 = {（）∣-0.4≤≤0，0≤≤- }

經計算 = 0.001674，此時罐儲油量0≤≤ = 0.001674。

這時油面油位探針顯示的示數是0。

（a）小橢圓油罐正面示意圖

（b）小橢圓油罐截面示意圖

圖1 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖

圖2

（2）當油面高過探針底部到油面到達另一端底部時，0<≤2.05

= 2， = {（）∣-0.4≤≤，0≤≤ }。

求解得：

= 11.7 + 0.2759[259.0） + 4.47 + 4.47 （1.6670.9522）祝？.6670.9522）6.686

（3）油面達到另一端底部到前一段頂部時，2.05<≤1.20.4

= 2， = {（）∣-0.4≤≤2.05，0≤≤ }。

運行的結果：

（4）油面達到前一段頂部到探針頂部時，1.20.4<<1.2， = +

= （0.4）

= 2， = {（）∣-（0.4）≤≤2.05，0≤≤ }。

結果： = 35.110.2759[259.0） + 0.2759[25.09] + 4.47（3.3332.952）4.47（1.6671.245）（1.6671.245） + 4.474.4739.4

（5）當 = 1.2時，3.98 = （1.2）≤≤

利用最小二乘法擬合函數得：

= -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.0044005 0.00032896 + 0.0084474。

利用擬合函數可得罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值的表格（省略）。

本模型的最大優點是巧妙地運用初等數學知識建立數學模型，并通過利用數學工具和Matlab編程的方法，嚴格地對模型求解，具有科學性。建立的模型能與實際緊密聯系，結合實際情況對所提出的問題進行求解，使模型更貼近實際，通用性、推廣性較強。由于該模型是通過分類討論，在微積分與立體幾何相結合的基礎上建立的，因此計算結果與實際比較接近，實用性比較強，同時這種思想也能推廣到其他形狀的圖形的體積計算中去，服務于各種圖形的求解及其測量。

基金項目：廣西高等學校特色專業及課程一體化建設項目（GXTSZY2220）《數學與應用數學》；河池學院重點學科《應用數學》（2007）和《統計學》（2013），新世紀教改工程2011年項目（2011JGB321），2011年度廣西教育廳科研項目—立項項目（201106LX583），2011年度院級青年科研立項A類項目（2011A-N009），湖北省教育廳科研計劃項目（Q20122504）

參考文獻

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