淺談構造函數法在高中數學中的應用

黃紫敬

摘 要：構造函數法是指運用函數概念和性質，構造輔助函數解題的一種方法，它極具技巧性和創造性。利用構造函數法解題的關鍵在于找到能反映題目特征的函數，再利用函數的性質求解問題。巧用構造法解題能打破常規，找到解決問題的捷徑。本文通過例題說明構造函數法在高中數學中的應用。

關鍵詞：構造函數；高中數學；解題

函數思想是高中數學學習中的一個核心思想。構造函數法便是利用了函數思想，將原來的數學問題轉化為容易解決的函數問題。一些看似非常復雜的題目，如果能用函數的觀點加以分析，常可使問題變得簡單明了，從而易于解決問題。根據題意，構造函數是高中數學中一種常用的方法，它可以用來證明不等式、解不等式以及解方程等。

一、利用構造函數法證明不等式

不等式的證明對很多學生來說是難點。證明不等式除了可以用常見的比較法、反證法、分析法外，還可以用構造函數法。利用構造函數法證明不等式，關鍵在于找到一個能反映不等式特征的函數。

例1.求證■≤■+■

分析：仔細觀察題目可以發現，題目中三個分式形狀相似，由此可以聯想到構造函數f（x）=■，再利用函數的單調性去證明不等式。

證明：構造函數f（x）=■，由于f（x）在（-∞，1），（-1，+∞）上均遞增，再由不等式性質|a+b|≤|a|+|b|可得：

■≤■=■+■≤■+■

二、利用構造函數法解不等式

不等式的求解是高中數學中一種比較常見的題型。對于一些形式特殊的不等式，如果我們能針對其結構特點巧妙構造函數，往往會取得事半功倍的效果。

例2.求不等式x6-（x+2）>（x+2）3-x2的解集。

分析：這是一道解高次不等式的問題，根據題目的結構特征，可以聯想到構造函數解不等式。

解析：原不等式可化為x6+x2>（x+2）3+（x+2），設f（x）=x3+x則f（x）在R上單調遞增，所以原不等式等價于f（x2）>f（x+2），即x2>x+2，解得：x<-1或x>2。

三、利用構造函數法解方程

在高中數學的學習中，有時會遇到一些結構比較特殊的方程。當用常規方法無法解決這一類方程時，巧妙運用構造函數法，題目往往就能迎刃而解。

例3.解方程3x+4x+5x=6x。

分析：此題比較特殊，既合并不了，又分解不了。根據方程與函數的關系，可聯想到通過構造函數方法來研究方程的解。

解析：原方程可以變形為：（■）x+（■）x+（■）x-1=0

設f（x）=（■）x+（■）x+（■）x-1，觀察并計算知：

f（1）=1，f（2）<1，f（3）=0

所以x=3是原方程的一個根。

因為（■）x，（■）x，（■）x均為R上的嚴格減函數，故f（x）是R上的嚴格減函數。

當x>3時，f（x）f（3）=0。

所以原方程有且僅有一個解，x=3。

通過以上例題可以看出，在解題時，構造一個適當的輔助函數幫助探求解題思路，往往可以帶來很大的方便。構造函數法是一種極具技巧性和創造性的解題方法，它不僅可以用來培養學生思維的靈活性，還可以讓學生感受到解題的樂趣。此外，構造函數法還滲透了化歸、猜想等數學方法，對提高學生的解題能力具有非常大的幫助。

參考文獻：

[1]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]楊麗寧.構造法在不等式證明中的應用[J].榆林高等專科學校學報（綜合版），1996（2）.