基于ARMA模型和時空K riging插值聯合模擬大跨結構的脈動風速時程

周彬彬，蔡建國，馮 健

（東南大學土木工程學院，南京 210096）

基于ARMA模型和時空K riging插值聯合模擬大跨結構的脈動風速時程

周彬彬，蔡建國，馮 健

（東南大學土木工程學院，南京 210096）

采用ARMA模型模擬具有時間和空間相關性的大跨結構的隨機風速時程。并對Whittle遞推算法進行了改進，求解出自回歸系數和滑動回歸系數矩陣。利用MATLAB軟件編制了模擬大跨橋梁的風速時程模擬程序，運行結果表明：改進的方法計算效率高，模擬精度符合要求。然后又利用時空Kriging插值法對控制點區域內節點的脈動風速時程進行模擬，其模擬精度較好且求解過程快，可用于大跨空間結構、超高層建筑等含有大量節點的結構風場模擬。

數值模擬；脈動風速時程；ARMA模型；Whittle遞推算法；時空Kriging插值

隨著計算機科學技術的發展，隨機風場的數值模擬技術得到了很大的提高。模擬脈動風速時程主要有諧波合成法和基于線性濾波技術的線性濾波器法（自回歸線性濾波器AR法和自回歸滑動平均線性濾波器ARMA法）兩大類。其中ARMA法能夠在保證模擬精度的前提下，高效地模擬出具有時間和空間相關性的隨機風速時程［1］。而時空Kriging插值法是一種近年來才發展起來的基于隨機變量在空間和時間上的相關結構而建立起來的統計方法［2］，它以建立有效的時空協方差（變異）函數為前提，根據變量的時空自相關性對待估點進行插值［3］。

本文在ARMA模型用于模擬多變量穩態隨機過程的基礎上進一步簡化求解算法并和時空Kriging插值法聯合用于對大跨結構的脈動風速時程進行模擬。隨后利用MATLAB軟件編制風速模擬程序，運行效果表明該聯合方法在保證精度的前提下，能顯著地提高大跨結構風速時程的模擬效率。

1 風的基本特性

近地風一般包含平均風和脈動風兩部分。平均風在給定的時間間隔內風力大小、方向等不隨時間而改變，而脈動風則隨時間和空間隨機地變化，在數學上屬于隨機過程范疇，工程中常常作為具有零均值的各態歷經的高斯隨機過程來處理。風場模擬主要是針對脈動風而言［4］。作用于結構上任一點的風速V（x，y，z，t），可以表達為平均風速和脈動風速v（x，y，z，t）之和，即：

2 ARMA模型解法

常規算法中，使用如Gauss消元法、Gauss-Seidel迭代法對線性方程組（18）進行求解，得到Φi，Ψj后，代入式（5）即可進行風速模擬。但對于大跨橋梁、大跨空間結構、超高層建筑這樣含有大量節點的結構求解過程是繁瑣的，精度也很難控制。本文使用Whittle遞推算法用于求解自回歸系數Φi［7］進而推導出了滑動回歸系數Ψj。算法如下：

式中：Φi，j為p階AR模型在階次為i時的第j個系數，為m×m階矩陣，i，j＝1，2，…p利用得到的自回歸系數Φi，推出滑動回歸系數Ψj：

至此，ARMA模型的所有系數矩陣均已求出。

3 時空K riging插值

3.1 時空協方差函數

設U（s，t）∈Rk×T是定義在時空域的隨機過程，其中Rk代表k維的歐氏空間，T代表時間，同時定義（si，ti）為時空場中任意樣本點的位置，Δs為樣本點間的空間距離，Δt為時間距離。當U（s，t）滿足二階平穩

或固有假設時，其協方差函數記為［8］：

對應的變異函數記為：

式中σ2為U（s，t）的方差。

本文采用積和模型來擬合風速的時空變異結構如下：

式中：Cst為時空協方差；Cs為空間協方差；Ct為時間協方差；γst，γs，γt分別為對應變異函數；Cst（0，0），Cs（0），Ct（0）分別是對應的基臺值［2］。

由變異函數性質得：

實驗中往往采用式（26）計算樣本變異函數：

式中：U（si，ti）為樣本觀測值；N（Δs，Δt）為相距（Δs，Δt）的樣本對數［9］。

當Δt＝0時，式（27）為純空間域的樣本變異函數估計值：

當Δs＝0時，式（28）為純空間域的樣本變異函數估計值：

3.2 K riging插值

Kriging插值是一種線性的無偏估計方法，要求估計誤差的方差最小［10］。本文采用普通Kriging進行時空擴展，即：

U*（s0，t0）為時空點處（s0，t0）的估計值，λi為鄰近觀測值的加權系數［2］。引入拉格朗日系數μ可得參數λi的計算式為：

將時空Kriging插值與ARMA模型聯合運用于大跨橋梁、大跨空間結構、超高層建筑的風速時程的模擬，即先使用ARMA模型對少量的結構控制節點處進行風速時程模擬，再利用時空Kriging插值對控制節點處臨近的節點進行風速時程的模擬。

4 工程算例

某橋為主跨跨徑達1 428 m的三跨連續鋼箱梁懸索橋。本文對橋主梁處（圖1）的脈動風速時程進行模擬。數值模擬中采用Kaimal風速譜，10 m處平均風速為31.2m／s，地面粗糙度α＝0.142；模擬計算步長Nc＝10 000，步長Δt＝0.5 s，模擬時程為T0＝5 000 s，頻率取值范圍為0～2 Hz。橋面縱向相鄰位置等間距50m，共模擬29個點。選取部分節點的風速模擬曲線見圖2及模擬譜與目標譜的對比見圖3。可以看出模擬譜與目標譜吻合度高，模擬效果較好，計算耗時為0.2 s。本文又采用傳統的Gauss消元法進行計算對比，其耗時約為0.47 s。使用改進的算法要比傳統算法效率提高57%。

圖1 主梁風速模擬點位示意（單位：cm）Fig.1 Positions for simulated points of wind speed on main girders（unit：cm）

圖2 14、15、16節點風速時程Fig.2 Simulated wind speed time-history series at points 14，15，16

圖3 14、15、16節點模擬風速譜與目標譜對比Fig.3 Comparison between target power spectrum and simulated power spectrum at points 14，15，16

利用已求解出控制點的風速時程數據，運用式（27）擬合出的空間變異函數表達式為式（31），運用式（28）擬合出的時間變異函數，表達式為（32）：

γs（Δs）＝30.85＋

求出k1，k2，k3值后將式（31）和式（32）代入式（24）得時空變異模型如圖5。由求出的時空變異函數，根據測點14、16處與測點15處的時空關系，利用測點14、16處的風速時程，對測點15處的風速進行時空Kriging插值，將所得的結果與已模擬的風速時程及功率譜進行對比如圖6和圖7。從結果來看，時空Kriging插值的結果與已模擬的結果重合度較高，且整個插值過程耗時少。

圖4 空間和時間的變異函數Fig.4 Spatial variogram and temporal variogram

圖5 時空變異函數模型Fig.5 Spatial-temporal variogram model

圖6 15節點插值風速與模擬風速對比Fig.6 Comparison between interpolated wind speed time-history and simulated wind speed time-history at point 15

圖7 15節點插值風速譜與模擬風速譜對比Fig.7 Comparison between interpolated power spectrum and simulated power spectrum at point15

5 結 論

本文推導出自回歸（AR）階數p大于滑動回歸（MA）階數q時，ARMA模型用于模擬大跨結構風速時程的公式。并針對求解矩陣的特點，對其解法進行了簡化。采用改進后的Whittle遞推算法使得ARMA模型模擬大跨結構風速時程的效率得到進一步提高，模擬精度也符合工程技術的要求。然后又將基于隨機變量在空間和時間上的相關結構而建立起來的時空Kriging插值法用于結構控制點臨近區域的風速時程的模擬。模擬過程快速，精度滿足工程要求，可將此聯合方法推廣至復雜的大跨空間結構、超高層建筑等含有大量節點結構的風速時程的模擬。

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Simulation of fluctuating w ind speed time-history series for large-span structures based on ARMA model and spatial-tem poral K riging interpolation

ZHOU Bin-bin，CAIJian-guo，FENG Jian
（College of Civil Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China）

ARMA model was employed to simulate fluctuating wind speed time-history series for large-span structures with time and space correlativity.Whittle iteration method was improved to derive matrices of auto-regressive and moving-regressive coefficients.The corresponding computational program was developed with MATLAB software.Numerical examples indicated that these two methods are efficient and speedy.In addition，the spatial-temporal Kriging interpolation method was also proposed to simulate the fluctuating wind speed time-history series of unknown pointes near the simulated points based on ARMA model.Simulation results showed that the approach is swift and accurate and available to simulate fluctuating wind speed time-history series for complex long-span space structures and high-rise buildings containing plenty of joints.

numerical simulation；fluctuating wind speed time-history series；ARMA model；Whittle iteration；spatial-temporal Kriging interpolation

TU311

A

2013－01－10 修改稿收到日期：2013－03－13

周彬彬男，博士生，1986年6月生

馮 健男，教授，1963年10月生