多維二參數Logistic項目反應模型的Gibbs抽樣法

付志慧，李 斌

（沈陽師范大學 數學與系統科學學院，沈陽 110034）

0 引 言

項目反應理論在心理與教育測量領域中具有廣闊的應用前景［1－2］。它以潛在特質理論為基礎，核心內容是研究潛在心理特質和反應行為之間的關系，在此基礎上，可以分析出被試潛在心理特質（即能力）與項目特性（難度、區分度等）之間的相互影響。項目反應模型按照能力維度可分為單維和多維。單維項目反應模型假定測驗的所有題目只考查同一種潛在特質。但是實際心理過程是非常復雜的，且考試（教育測驗）通常考查多個能力。本文主要研究多維二參數Logistic（2PLM）的Gibbs抽樣方法。

項目反應理論參數估計方法有4種［4］，條件極大似然估計（CMLE：condition maximum likelihood estimation），邊際極大似然估計與EM 算法［4－5］（MMLE／EM：marginal maximum likelihood estimation and an EM algorithm），聯合極大似然估計（JMLE：joint maximum likelihood estimation），Bayes估計。CMLE以一種參數已知為條件，即項目參數已知求能力值或能力參數已知求項目值。能力的條件估計適用于抽取題庫項目來估計被試能力，若在題庫未建立前，項目參數和能力參數皆是未知，CMLE不再適用。Birnbaum提出了聯合極大似然估計。JMLE可在一定假設下，轉化為項目參數的估計和能力參數的估計。兩種估計是一個不斷互相校正的過程，反復迭代求取穩定值，可以看成是兩步估計的過程。但聯合極大似然估計有其固有的缺陷：給定長度測試中（即項目個數是固定的），隨著被試人數的增加，能力參數的個數也相應增加，稱之伴隨參數；不隨被試人數增加而增加的項目參數，稱之為結構參數；當同時估計能力參數和項目參數時，伴隨參數可能不存在充分統計量，因此得出估計不一定滿足相合性。消除JLME固有的缺陷只有消除伴隨參數的影響。MMLE／EM算法將能力參數邊際化，給定能力的先驗分布，對能力參數進行積分，從而來消除能力參數，在一般條件下該算法可以收斂，計算比較簡單，但它對能力需要進行數值積分近似計算，在能力維數較高時，會給計算帶來很大困難［6］。為了提高估計的質量，除了當前樣本數據，還可以利用客觀信息和經驗積累的信息，先驗信息的加入，參數估計更加穩定，也更合理和符合實際。Albert（1992）給出了二參數正態卵形的一種Gibbs抽樣方法［7］。Sahu（2002）將其推廣到三參數正態卵形模型［8］。Van der Linden（2007）針對結合反應時間和反應速度的測驗，用對數正態模型來擬合被試的反應時間，用三參數正態卵形IRT模型擬合反應得分，將二者結合后給出了Gibbs抽樣方法［9］。本文考慮更為一般的多維2PLM，給出了一種基于增加數據的Gibbs抽樣方法，易于求出每個參數的后驗分布，從而直接給出參數的Bayes后驗估計。

1 模型介紹和先驗假設

假定有N個被試，n個項目，yij表示第j個被試對第i個項目的反應，答對取值為1，答錯取值為0。令pij表示第j個被試對第i個項目正確反應的概率，我們采用多變量Logistic反應函數，形式為：

其中，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，N，θj＝（θj1，…，θjk，…，θjm）為被試j的能力，各維度能力取值范圍均為－∞＜θjk＜∞，j＝1，2，…，N，k＝1，2，…，m；ai＝（ai1，…，aik，…，aim），aik＞0，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m是由項目i在各維度能力上的載荷aik生成的向量，稱為區分度參數；bi＝（bi1，…，bik，…，bim）.－∞＜bik＜∞，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m，為項目i的難度參數向量；特別地，當m＝1時，模型（1）退化為單維2PLM。

令ζ＝（θ，a，b，σ），其中a＝（aik）n×m，b＝（bik）n×m，且（·）n×m表示n×m矩陣。多維2PLM 下，參數ζ的后驗分布為：其中D為比例常數。

2 潛在變量的引入及Gibbs抽樣過程

對應于反應數據yij，引入2個相互獨立的隨機變量uij。其中uij服從均勻分布，uij～Uniform（0，1）。由模型（1）易知，潛變量μij要受到yij取值的約束，令

令u＝（uij）n×N，y＝（yij）n×N，隨著潛變量u的引入，（ζ，u）的聯合后驗密度為：

進而，由式（3），有

首先，在給定反應數據和其他參數的情形下，抽取uij。在算法的每一步都要滿足式（2）。1）uij的滿條件分布為

2）給定a，b，σ2的滿條件分布為

由式（3），對于任意i，k，令

3）則給定其他所有參數和u，r，y，，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m的滿條件分布為

4）同理，θjk，j＝1，2，…，N，k＝1，2，…，.m的滿條件分布為

其中，θj（k）是向量θj將第k個元素θjk刪除后得到的余向量，即

N（vk，）是θjk在給定θj（k）下的條件分布，條件均值和條件方差分別為

（關于vk和的詳細計算過程見附錄），且

5）給定其他所有參數和u，r，y，aik，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m的滿條件分布為

其中

以下給出了具體的Gibbs抽樣步驟（具體程序由Matlab軟件編寫）。

第1步 從式（5）中抽取u；

第2步 從式（6）中抽取σ2；

第3步 從式（7）中抽取b；

第4步 從式（8）中抽取θ；

第5步 從式（11）中抽取a。

3 結 論

以上討論了多維二參數LOGISTIC模型的Gibbs抽樣問題，采用本文討論的方法，可簡單解決該模型的參數估計問題，這一結果對IRT的發展，對多維項目在測驗中的應用是很有意義的，在此基礎上，還可以進一步討論多維項目反應模型的其他問題，如縱向測驗［10－11］、多層IRT測驗［12］、參數估計優化問題［13－15］等。

附錄

條件均值及方差的詳細計算過程

若要計算θjk的條件均值vk和條件方差（公式（10）），首先對θj進行置換。令

Pk1＝（pst）m×m為置換陣，第（s，t）個元素為

由θj～Nm（μ，Σθ）有（k）～Nm（μ＊（k），（k）），其中

為了求θjk的條件分布，將向量（k）分成兩塊，因此得：

（μj（k）為θj（k）的數學期望，即μj（k）＝E（θj（k））。且

因此在給定時的條件分布為：

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