執行器飽和的不確定時滯系統的鎮定

杜鴻波，景 麗

（沈陽師范大學 數學與系統科學學院，沈陽 110034）

0 引 言

飽和現象廣泛地存在于各種工業系統當中，對實際工程來說，控制往往屬于容許控制，即控制輸入需要滿足一定的約束條件，執行器飽和限制是一種最常見的約束控制，所以對于這類問題的研究自然就有非常重要的意義。

1964年Fuller首次提出飽和系統，20世紀90年代，學者們對飽和系統的理論研究熱情高漲，取得了豐碩的成果。近幾年，Hu等［1－2］針對狀態反饋下的執行器飽和控制系統，利用飽和非線性的特性，提出了凸組合的處理方法，通過引入輔助矩陣H處理飽和非線性項，將穩定條件轉化為線性矩陣不等式，通過LMI求解。司玉琴等［3］研究了多輸入線性系統的全局穩定性，通過迭代算法進行吸引域估計。Cao等［4］基于飽和關聯函數，給出了線性離散系統的穩定性判據，應用線性矩陣不等式計算最大吸引域。2008年，Zou等［5］通過對Lyapunov方程的模型轉換，給出了一種改進的穩定條件。Guan等［6］基于錐互補的線性化程序給出了動態輸出反饋控制器的設計方法。2010年，Ma等［7］根據Finsler’s引理，得到了線性離散執行器飽和控制系統穩定性新方法，并通過迭代算法進行吸引域估計。2011年，朱發旺等［8］及基于飽和關聯函數研究了線性離散時間系統的吸引域估計問題，通過為每一個橢球尋找輔助的增益矩陣來降低吸引域估計的保守性。針對含有不確定項的執行器飽和問題，魏愛榮等［9］基于飽和度函數，研究了單輸入不確定線性系統的穩定性。針對含有時滯的執行器飽和問題，Hind等［10－12］相繼應用扇形非線性法進行研究分析，得到了相應的穩定性條件。此外，張美玉等［13－14］將飽和應用到時滯切換系統中，并給出了控制器的設計。

本文根據文獻［10］和文獻［12］研究含有不確定時滯的執行器飽和問題，給出了使系統漸近穩定的無記憶狀態反饋控制器的存在條件和設計方案。

1 問題描述

考慮以下狀態方程描述的帶有不確定時滯的執行器飽和系統：

其中：x（t）∈Rn為系統狀態向量；u（t）∈Rm為控制輸入向量；d＞0是滯后的時間常數；φ（t）為初始函數；A、Ad、B為適當維數的實值矩陣；ΔA（t）、ΔAd（t）和ΔB（t）是不確定實值矩陣，且具有范數有界不確定性結構，可寫成其中H、E1、Ed、E2是已知實數矩陣，N（t）為元素是Lebesgue可測的不確定矩陣，但是滿足不等式NT（t）N（t）≤I；sat（·）表示飽和非線性函數，定義如下：

2 穩定性分析

對于執行器飽和系統的研究，早期將飽和函數建模在一個扇形區域內，利用波波夫（Popov）準則和圓判據，對執行器飽和系統進行穩定性分析。其中比較典型的方法是引入無記憶狀態反饋控制器［12］

同樣，本文對于系統（1）引入無記憶狀態反饋（2），則有

其中Ak＝A＋BF。

定理1 對于閉環系統（1），給定狀態反饋控制增益矩陣F，如果存在對稱正定矩陣P和S，標量ε＞0，λ＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

則閉環系統（1）在給定的狀態反饋控制器（2）下是漸近穩定的。

把式（3）與式（4）相加，可知若式（5）成立，則V（t）＜0，

上式對所有滿足NT（t）N（t）≤I的參數不確定矩陣N（t）成立，當且僅當存在一個標量λ＞0，使得

根據Schur補引理，可知式（6）等價于

則當式（7）成立時，有V（t）＜0，即閉環系統（1）在給定的狀態反饋控制器（2）下是漸近穩定的。

3 控制器設計

定理2 考慮閉環系統（1），如果存在對稱正定矩陣P，U和任意適維矩陣Q，標量ε＞0，λ＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

則閉環系統（1）在無記憶狀態反饋控制器（2）下是漸近穩定的，其中F＝QP－1。

證明 對于（7）式根據Schur補引理可轉換為

令＝P－1，Q＝FP－1，U＝P－1SP－1＝ε－1，那么式（10）可寫成式（8），則當式（8）成立時，閉環系統（1）在無記憶狀態反饋控制器（2）下是漸近穩定的，且狀態反饋控制器F＝。

4 仿真算例

例 考慮二階的控制系統（1），具有如下參數

利用Matlab的LMI工具箱求解矩陣不等式（8），得

選取初始狀態x0＝（－2，25）T，則系統的狀態軌跡是漸近穩定的，如圖1所示。

圖1 系統的狀態軌跡

5 結 語

本文研究了執行器飽和的不確定時滯系統的鎮定問題。基于扇形區域法和李亞普諾夫函數方法研究了閉環系統漸近穩定的條件，并且在系統漸近穩定的條件下，給出了無記憶狀態反饋控制器的設計方案，仿真算例驗證了結論的有效性和可行性。

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