不確定時滯狀態飽和系統的穩定性分析與綜合

楊 瑾，景 麗

（沈陽師范大學 數學與系統科學學院，沈陽 110034）

飽和系統是在實際工程控制問題中普遍存在的一類非線性控制系統。在大多數的實際控制系統中，無論是執行器或系統狀態等工作參數都受到上下界的限制，如機器零件可承受的工作參數，鍋爐的爐溫，水位的高度等都要受到上下界限的限制，這就是非線性飽和控制系統所研究的問題。對飽和系統的研究包括狀態飽和［1－6］，執行器飽和［7－11］等。目前，對狀態飽和系統的研究都集中在對其穩定性的研究上。

針對不確定系統的穩定性研究引起了眾多學者的關注，并取得了一定的研究成果［4－8，12－16］。目前，對于系統的不確定項有兩種形式的限定，其一是不確定項為已知系統矩陣的線性組合［4，12］，其二是不確定項滿足范數有界不確定結構［13－16］。控制系統普遍存在滯后現象，若忽略對滯后現象的考慮，那么系統的穩定性和動態性能將大大改變。滯后現象是影響系統動態性改變的根本原因，可見，對時滯系統進行研究也有其實際的應用價值［7－9，13－16］。因此，針對不確定時滯系統進行研究是十分必要的。

本文采用處理狀態飽和函數的凸組合方法及控制系統的Lyapunov穩定性理論，研究不確定時滯狀態飽和系統的穩定性問題，給出了系統大范圍漸近穩定的充分條件。通過變量變換和矩陣理論，系統穩定的充分條件化為線性矩陣不等式形式，同時給出了系統的狀態反饋控制器的設計方法。最后，使用Matlab軟件進行仿真，驗證了結論的有效性和可行性。

1 問題描述

考慮不確定時滯連續狀態飽和系統：

其中：x∈Dn＝｛x｜x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn：－1≤xi≤1，i＝1，2，…，n｝?Rn是狀態向量；A＝（aij）∈Rn×n是已知的實矩陣；ΔA＝HF（t）E＝（Δaij（t））∈Rn×n具有范數有界不確定結構，這里，H、E是已知的適維實矩陣，F（t）是Lebesgue可測不確定矩陣，且滿足不等式FT（t）F（t）≤I；h（·）為狀態飽和函數，具有式（2）的形式：

在系統（1）中，狀態變量被定義在單位矩形域Dn中，當且僅當狀態變量＝1，并且滿足＋Δaij）xj（t）＋aτijxj（t－τ））xi＞0時，狀態飽和限制才發生作用。

引理1 考慮如下的非線性系統

其中，f（0）＝0，假設系統（3）的狀態軌線都在?內，如果存在函數V（x）：?→R，使得φ1（‖x‖）＜V（x）＜φ2（‖x‖），?x∈?，并且≤－φ3（‖x‖），?x∈?，其中φ1，φ2，φ3都是K－函數，則系統（3）在原點大范圍漸近穩定。（系統在原點大范圍漸近穩定是指系統的吸引域為?）

令Dn是有對角元素是1或0的對角矩陣組合的集合，則Dn包含2n個元素，令Di∈Dn，并定義＝I－Di。

引理3［5］設G＝（gij）∈Rn×n是對角占優矩陣，且對角元素為負，即gii＜0，（i＝1，2，…，n），則

其中L∈Rn。

2 主要結論

定理1 如果存在正定對稱矩陣X∈Rn×n、Z∈Rn×n和矩陣Y∈Rn×n以及正實數ε，使得

證明 選取Lyapunov函數

其中P、Q∈Rn×n為正定對稱矩陣，于是沿著系統（1）有

設G＝（gij）∈Rn×n是對角元素為負的對角占優矩陣，由引理3，可知

其中Di、（i＝1，2，…，2n）如引理2所定義的。

令＝Di（A＋ΔA）＋，則

根據引理1可知，若

則˙V（x（t））＜0，那么系統（1）在原點大范圍漸近穩定。

由Schur引理，式（5）等價于

由于，矩陣ΔA具有范數有界不確定結構，式（6）成立等價于

將式（7）左、右分別乘以P－1，即得由Schur引理，式（8）成立等價于

令P－1＝X，GP－1＝GX＝Y，Q－1＝Z，λ－1＝ε，且G＝YX－1是行對角元素為負的對角占優矩陣，式（9）化為式（4），不等式（4）為線性矩陣不等式，即可使用Matlab軟件進行求解。

3 系統狀態反饋控制器的設計

考慮下面的狀態飽和系統的控制器設計問題：

其中：矩陣B＝（bij）∈Rn×m；K＝（kij）∈Rm×n；其他參數同系統（1）。

定理2 考慮系統（10）在線性狀態反饋控制器為u（t）＝Kx（t）＝WX－1x（t）作用下，如果存在正定對稱矩陣X∈Rn×n、Z∈Rn×n和矩陣Y∈Rn×n，W∈Rm×n以及正實數ε，使得

證明 將u（t）＝Kx（t）代入到式（10）中，系統（10）改寫為

在定理1的證明中將式（9）改寫為

將式（13）化為式（11），不等式（11）為線性矩陣不等式，即可通過 Matlab軟件進行求解，并且系統（10）漸近穩定的線性狀態反饋控制器為u（t）＝Kx（t）＝WX－1x（t）。

4 仿真算例

設系統（10）中的矩陣參數為

利用MATLAB工具箱中的feasp函數求解不等式（11），得到

同時得到

由矩陣G是對角元素為負的對角占優矩陣，狀態反饋

圖1 系統（10）狀態反饋控制后的狀態軌跡

5 結 語

本文研究帶有不確定項的時滯狀態飽和系統，選擇適當的Lyapunov函數，并將非線性狀態飽和函數表示成凸組合的形式，給出系統在原點大范圍漸近穩定的充分條件，將其表示成線性矩陣不等式（LMI）的形式，同時給出了系統狀態反饋控制器的設計方法，通過Matlab軟件進行仿真，驗證結果的有效性和可行性。

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