學生思維空間的拓展

劉桂華

“植樹問題”是人教版教材四年級下冊“數學廣角”中的教學內容，有線段上植樹和封閉圖形植樹兩類問題，其中線段上植樹通常包括下列三種情況，即兩端都植；兩端都不植；只在一端植，另一端不植。這一教學內容的難點在于讓學生根據實際情況具體分析和判斷來解決“植樹問題”。針對“數學廣角”的教學內容，教師要滲透對應與數形結合的數學思想，讓學生能夠從實際問題抽象出“植樹問題”的模型，準確掌握段數與點數之間的關系，發現并利用這一規律靈活地解決實際問題。近期，筆者共聽了三節有關探討“線段上植樹問題”的課，感受頗深，為此，針對課堂教學如何拓展學生思維空間作出一定的思考。

一、案例描述與分析

案例一：

教師首先借助“手指數與指縫數關系”完成向“點數與段數關系”的轉化。然后給出“兩端都栽”的例題，以提問的方式，利用課件中的線段圖引發學生思考，總結得出“兩端都栽的段數=全長÷每段長度、棵數=段數+1”的結論。接著教師將例題分別改編成“兩端都不栽”、“只栽一端”的情況，分別總結出“棵數=段數-1”、“段數=棵數”的結論。最后，教師整理得出在“線段上植樹問題”的三種情況和解答方法。

現在，教師能夠站在學習者的角度分析當時學生思維所處的狀況。從當時的課堂觀察來看，學生在教師所提問題的引領下，從認識“點數與段數關系”，借助教師制作的線段圖課件中的直觀演示，一步一步地掌握在“線段上植樹問題”的三種情況和解答方法。然而，這些思維含量不高的小問題來自教師，學生思維處于被動思考解答的狀態，缺少主動性。課堂顯得平穩，缺少生機與活力。隨著教學推進，學生獲得的是關于某一種植樹方式的具體解決方法。面對練習環節的實際問題，他們缺少整體思考，出現類型判斷上的錯誤，會因為沒有經歷“畫示意圖、分析找方法”的過程而不得法。

案例二：

教師給出的是一個實際問題，讓學生進行探究：在一條長20米的路一側植樹，每隔5米植一棵，可以植幾棵？把你的想法用簡單的示意圖畫下來。

學生嘗試獨立畫圖解答后，首先要匯報個人的做法，集中大家的智慧，可以得到5棵、4棵、3棵三種不同的植法。這時教師會質疑：“都是在20米路的一側植樹，為什么得到的答案不同？”然后讓學生到前面展示自己的植樹方案，說說自己的想法。學生結合自己畫的線段圖說出自己的植法和計算過程，教師追問“+1”、“-1”的理由。最后，教師利用線段圖（課件）歸納總結出三種植樹方法，讓學生給這三種不同的植法起名字，總結解答方法。

這位教師創設了源于實際的具有開放性的問題情境，并放手讓學生嘗試自主探究，易于激發學生探索的欲望。面對這些實際問題，學生的思維是開放和發散的。當學生個體自主探究出現分歧答案時，即出現“5棵、4棵、3棵”的不同結果時，學生會想方設法地闡述自己的道理，力求得到伙伴的認可，借助線段圖的直觀效果，學生的思維實現積極的碰撞，可以分享彼此的智慧，體驗學習的快樂。

相比案例一，學生的思維受到激發，活躍起來，自主思考與探索的空間加大。通過自己的畫圖分析與交流分享，他們獲得了對“植樹問題”幾種情況的整體認識。面對練習環節的具體問題，這些學生能謹慎思考，作出判斷，并借助線段圖，給出相應的解答。

案例三：

教師把這節課命名為“畫簡圖、找規律”，共安排3次探究活動。

（1）學習“畫簡圖、找規律”的方法

教師以“一根長繩剪1次成幾段？剪2次成幾段？”為題，引出畫簡圖的方式，讓學生說說黑板上兩個示意圖所表示的意思是什么，之后教師布置探究任務。

任務1：邊畫邊填，找規律

學生邊畫邊填。在匯報階段，在表格最后一組的空格處，教師問：“如果剪50次的話，是多少段；99段的話，要剪幾次？”學生可以順利、快速地說出正確的結果。教師問：你們發現了什么，進而總結出“段數=次數+1”的規律和“畫簡圖、找規律”的方法。

（2）獨立探究植樹問題

這一步是學生自己獨立完成的。在交流階段，可能會出現三種情況，在學生說明理由的基礎上，教師用課件展示其合理性。

任務2：在馬路一邊種植7棵樹，你會怎么種？用畫簡圖的方式完成“小探究”。

小探究：

我發現：樹的棵樹是（ ）

段數是（ ）

我猜想：段數=棵樹

我驗證：再按這樣的方式種些樹，看看猜想是否成立？

我的結論是： （3）交流合作、總結規律

任務3：小組合作完成填表

如果說案例二較好地解決了“植樹問題”解答方法的問題，那么，案例三是在教給學生探索發現、解決問題的常用方法——畫簡圖、找規律，“植樹問題”就成為“畫簡圖、找規律”學習的載體。

課之伊始，教師直接揭示“畫簡圖”的方法，接著用這種方法完成任務1，讓學生一邊在線段上畫，一邊將結果記錄在表格中，發現“剪的次數”與“段數”間的關系。所以，一些學生只“剪”了幾次就不繼續“剪”了，直接在空格處填上自己的推想。

借助“剪”形成的“點”與種樹需要的“點”的相似性，教師再讓學生完成任務2，進行獨立探究。學生根據教師提供的“發現、猜想、驗證、結論”這一探究思路，將三種植樹情況進行展示交流，集中思考“棵數”與“段數“的關系。此外，教師要為學生提供具有研究性學習任務的學習材料，引導學生的思維方向，邊做邊記錄，體驗探索發現的樂趣。

在課堂小結談收獲時，教師在學生總結出“植樹問題”的三種情況與解答方法時強調“規律會忘記、畫個簡圖找一找”，從始至終圍繞學習“畫簡圖、找規律”的方法進行。

二、案例反思

這三個案例，教師超越以往教“教材”的范式，進行了自己獨具匠心的思考和設計，但他們的教學差異是顯而易見的，尤其是在學生思考空間方面。這就引發筆者進一步地追問：怎樣才能拓展學生思維的空間？

1.教學定位

在課堂上學生獲得什么，這屬于教學目標定位問題。案例三定位在“方法學習”，案例一、二定位在“解答植樹問題”，這就有了本質的區別。學生掌握了“畫簡圖、找規律”的方法后，即使忘記了“植樹問題”的規律，畫個簡圖找一找就可以解決。

因為“植樹問題”是一類數學問題的模型，由植樹可以演變為安燈、鋸木頭、敲鐘、樓層高度等問題，包括總長、間隔、段數與點數四個要素。學生掌握這一類型的題目關鍵是進行準確的判斷：總長÷間隔得到的段數是否與實際的點數吻合？“一端種”時“段數”與“點數”正好吻合。另外兩種情況需要調整，是+1，還是-1？因此，“植樹問題”是教師在向學生滲透研究問題的嚴謹態度和結合具體問題作出具體分析思考的方法和習慣，是對學生思維品質和思維能力進行訓練的最好時機。

不僅是“植樹問題”，如果學生學會用“畫個簡圖找一找”這把金鑰匙，許多數學問題也會迎刃而解，避免出現“有點變化就不會、遇到新問題就束手無策”的情況。長此以往，學生的思維更加活躍起來，解決問題的能力就會提高，不再局限于“教師教”，學會“自己學”，激發自身的探究熱情，形成發展動力，這才是教育“為人的一生發展奠基”的價值所在。

怎樣才能像案例三中的教師那樣站得更高、挖掘得更深，使學習的價值更為豐厚，教學更有品位呢？教師要不斷地學習，提高對數學教育的認識，用先進的學科教學理念來統領教學。而且，教師也要練就對學科知識作出深刻解釋的功夫。教師對教材的解釋不應局限在掌握概念、公式、性質、法則等知識層面，要發現知識背后蘊含的思想方法、興趣習慣等有價值的內容，想方設法地優化設計，實現其價值。

因此，教師在分析教材時“想到什么”很關鍵，要明確學生可以從中學到什么是實現教學價值最大化的第一步。這一步邁得大、跨得高，教學境界才有可能得到提升。

2.問題的動力性

思維源于問題，問題具有啟動和導向的功能。教師提問的根本目的不僅僅是讓學生尋找到某種正確答案，而是要學生在尋找答案的過程中思維得到拓展。在案例一中，一問一答、層層推進式教學，往往對問題的思維空間較小，思考價值低，能夠照顧全班學生“齊步走”，但難以激發學生愿意接受挑戰的激情，不能給學生提供探究和展示的機會。學習過程是認知與情感雙輪驅動前行的過程，缺少情感參與，課堂就失去生命力。學生得到的知識、方法往往也是零零碎碎的，不成體系。

相對而言，案例二和案例三中教師提出的問題、布置的任務是有意思的、是開放的，容易調動學生參與的熱情。案例二在學生完成階段任務的基礎上，教師用“都是在20米路的一側植樹，怎么得到的答案不同？”有意識地引導學生進一步說理與展示，實現集體智慧的碰撞與分享。案例三中教師布置的任務2拋開“總長、間隔”這些解決植樹問題的非關鍵要素，僅保留“一邊種7棵”和“怎么種”這兩個核心要素。學生在嘗試解答的過程中扮演探索發現者的角色，獨立探究，組織小組合作填表，梳理形成對“植樹問題”的整體認知，為靈活解決實際問題作好鋪墊，培養縝密性的思維。

3.材料與活動的選取

“植樹問題”是小學四年級學生的學習內容，他們的現有基礎與要達到的目標有一段差距。縮小差距的關鍵是發現學生的現有起點，適應他們的思維特點，提供適當的學習材料，組織恰當的學習活動，讓學生真正“動起來”。

三位教師都想到利用“線段圖”這一直觀手段，但用法不同，導致學生活動及其效果的差異。案例一，教師運用自己做的課件，學生僅是觀察者，看到三種情況，但沒有親身體驗；案例二，教師用“把你的想法用簡單的示意圖畫下來”、“結合自己畫的線段圖談自己的植法和計算過程”進行引導，學生要自己動腦算分幾段、種幾棵，自己動手畫、動口去表達自己的想法，用眼去觀察、用耳去傾聽他人的方法，這使得學生的感官被調動起來，思維處于活躍的狀態。教師的課件展示用于學生親身實踐后的總結梳理，便于讓學生形成整體認識。

值得一提的是案例三，教師在此基礎上提供了一份學習材料，其中的三個任務并不復雜，簡單的文字和幾條線段，卻融入教師對學生學習路線的預測和引導，邊做邊填，思維是有序的，而且是在走科學家探索發現的道路，這對學生在有限的時間里積極地探索發現搭建了橋梁。

學習是學習者自主建構的過程，離不開思維的積極參與。怎樣拓展學生的思維空間？教師要賦予知識載體以更豐富的內涵，不斷地追問與探尋“學生學習這部分知識有什么用？”同時，教師要結合預設的目標，針對學生學習的需要，設計有價值的問題，提供有引導價值的學習材料，幫助學生調動多種感官參與學習活動，讓學生經歷探索發現的過程，積累活動經驗，領悟蘊含的思想方法，形成探索興趣，愿意接受挑戰，學會協同合作等，培養學生適應未來生活的良好素養，提升教書育人的境界。

（作者單位：北京市昌平區教師進修學校教科室）

（責任編輯：孫建輝）