具有閉環區域極點約束的H2/H∞主動懸架魯棒控制

崔 挺，嚴運兵，翁敬良，周 博

（武漢科技大學 汽車與交通工程學院，武漢 430081）

具有閉環區域極點約束的H2/H∞主動懸架魯棒控制

崔 挺，嚴運兵，翁敬良，周 博

（武漢科技大學 汽車與交通工程學院，武漢 430081）

0 引言

汽車懸架是連接車架（或承載式車身）與車橋（或車輪）的一系列傳力裝置，具有承接載荷、傳遞動力和緩和路面沖擊的作用。車輛懸架性能的好壞對汽車平順性、操作穩定性和汽車壽命有著很大影響。使車身加速度、動撓度和輪胎動載荷滿足使用要求，保證車輛在各種行駛情況下的平順性和操作穩定性的主動懸架及其剛度和阻尼控制方法是研究的熱點。

當汽車行駛在不平路面上時，工況和車載質量的變化使懸架系統存在諸多不確定[1]。H∞控制理論能使系統能夠承受一定程度的參數不確定性以及未建模誤差，在控制器設計中盡管考慮這些不確定性，但它以犧牲系統其他性能為代價來增強系統的魯棒性能和抗干擾性，因此單純的H∞控制系統不可能滿足各種性能要求，如系統在白噪聲擾動輸入下的響應需用性能指標向量H2范數來衡量，而采用H∞控制很難滿足所需要的性能要求[2]。混合H2/H∞魯棒控制將這兩者結合，能夠很好地解決系統的魯棒穩定性，優化系統動態性能。同時，采用H2/H∞控制能夠改變單一目標設計H∞控制方法，有利于處理多目標控制問題。本文應用H2/H∞混合魯棒控制方法，以車身加速度作為車輛懸架優化目標，用H2范數來衡量。將懸架動行程、輪胎動載荷和控制器作用力作為H∞約束輸出指標，運用閉環區域極點約束LMI方法求解H2/H∞控制器，并將仿真結果與LQR控制器做比較，對車輛懸架系統進行時域、頻域和魯棒性能分析。

1 主動懸架模型建立

汽車是一個復雜的振動系統，在進行理論分析時應根據問題的特點對其簡化并建立數學模型。本文采用二自由度1/4車輛模型，此車輛模型結構簡單，但不影響對汽車車身加速度、輪胎動載荷和懸架動撓度的研究，且參數獲得較方便，是目前設計車輛懸架應用最廣泛的模型。應用此模型，需要做如下假設：1）汽車車身為剛體。2）忽略輪胎阻尼，因為輪胎剛度較大，阻尼較小，所以進行模型簡化時可忽略。本文研究的主動懸架1/4車輛模型如圖1所示。

圖1 1/4車輛模型

為減少能耗，圖中模型是在被動懸架的基礎上加上作動器而構成的。各參數的物理意義為：mb—簧載質量；mw—非簧載質量；ks—懸架剛度；kt—輪胎剛度；cs—懸架阻尼；zb—簧載質量位移；zw—非簧載質量位移；zq—路面輸入；u—作動器控制力。

1/4車輛模型在穩態振動時的動態特性可以通過牛頓第二定律對簧載質量和非簧載質量列出如下微分方程：

2 H2/H∞混合魯棒控制器設計

2.1 具有閉環區域極點約束的H2/H∞混合魯棒控制問題描述

假定所有的狀態變量都是可直接測量的，系統的反饋控制模型如圖2所示。

圖2 H/H 控制問題

圖（2）中w為外部輸入信號，包括干擾、噪聲及參考輸入等；u為控制輸入；y為量測輸出，這里采用全狀態反饋，有y=X; Z∞、Z2分別表示與H∞、H2性能有關的被控輸出；P和K分別表示廣義被控對象和控制器。其狀態空間描述為：

將上述系統歸結于具有H2/H∞性能要求和閉環區域極點約束的狀態反饋控制問題，設計一個具有狀態空間實現的H2/H∞狀態反饋控制律u=Kx, 代入系統（4）中得到閉環系統為：

分別用T∞和T2表示從外部輸入w到Z∞和從w到Z2的閉環傳遞函數矩陣，則系統設計目標滿足（假設D21=0）。

1）H∞性能：對給定的正常數γ，有||T∞||∞≤γ。根據有界實引理，系統（5）具有這一性質當且僅當存在一個對稱正定矩陣X1，使得：

2）H2性能：對給定的正常數η，有||T2||2≤η，則存在對稱矩陣2X和Q，使得：

3）極點配置：為了使閉環系統（5）獲得令人滿意的動態性能，要求閉環極點位于一個給定的LMI區域，定義如下：

其中L=LT和M是給定的實矩陣。這一性能要求得以滿足的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣X3，使得：

因此，對于系統（4）設計反饋控制律u=Kx，使得閉環系統（5）同時滿足以上給定的H∞性能、H2性能和閉環區域極點約束的多目標控制問題，可以通過求解變量X1、X2、X3、Q和K的矩陣不等式來解決。由于變量X1、X2、X3、Q和K不是凸的，其對應的矩陣不等式也是非凸的，求解可行性問題很困難。為了便于處理，通過引入Lyapunov矩陣X=X1=X2=X3，使得上述問題得以簡化[3]。

為獲得較好的魯棒穩定性和動態性能，可通過調整2個傳遞函數||T∞||∞和||T2||2值在H2/H∞混合控制中的比重并滿足（α||T∞||∞2+β||T2||22）最小，α和β為權重系數。

2.2 1/4車輛懸架模型的H2/H∞控制器設計

設計車輛懸架系統首先應考慮車輛乘坐舒適性的要求，而車身加速度是評價乘坐舒適性的主要指標；然后需要考慮輪胎與路面附著效果，其影響的是車輛操縱穩定性。具體要求為：當車輛在不平路面行駛時其輪胎不能離開地面，即輪胎與路面間的動載小于靜載，有kt(zb-zq)≤(mb+mw)g；同時懸架動行程受到機械結構的限制，可將懸架動行程限制在某一給定范圍內以避免撞擊限位塊而破壞乘坐舒適性，即|zb-zw|≤Smax；另外還需考慮發動機功率限制，控制器只能提供有限的作用力，即|u|≤umax[4]。H∞控制是通過抑制傳遞函數幅頻特性的最大幅值來減小輸入信號對系統性能的影響，懸架特性的不變點成為H∞控制方法設計懸架的最主要的障礙，很多文獻都采用H2性能作為車身加速度評價指標，將懸架動行程、輪胎動載荷和控制器作用力作為H∞魯棒性能指標[5]。

綜上所述，主動懸架控制系統的加權性能輸出和歸一化輸出分別為：

其中，q1為車身加速度加權系數。主動懸架控制問題可描述為：尋找一個控制器，使閉環系統穩定；改善乘坐舒適性，提高操縱穩定性；閉環系統對系統參數不確定性有較強的魯棒性，對外界干擾具有一定抑制作用。

3 H2/H∞主動懸架控制仿真結果分析

設定系統仿真參數為：mb=3 0 0 k g，mw=50kg，ks=1.7×104N/m，cs=1.3×103N?s/m，kt=2×105N/m, 最大動行程Smax=0.03m，最大作動力umax=1500N，路面不平度系數Gq=64×10-6，車速v=20km/h。

在Matlab/simulink環境下建立最優主動懸架統仿真模型，在B級路面仿真計算。應用LMI工具箱求解線性矩陣不等式（6）、（7）、（8）、（9）和（11）。由于汽車的平順性與操縱穩定性是相互矛盾，相互制約的，H2/H∞控制器設計的目的在于兩者之間進行合理折衷，選擇合適的q1，不斷調整α，β。經反復仿真實踐求得具有H2/H∞性能要求的最優狀態反饋矩陣為：

3.1 時域分析

圖3～圖5分別為車身垂直加速度、輪胎動載荷和懸架動行程時域響應波形圖。從圖中可以看出，在H2/H∞控制器作用下，在輪胎動載荷和懸架動行程分別滿足操縱穩定性和懸架結構要求下，車身垂直加速度幅值大大減小。從時域響應得出被動懸架和主動懸架車身垂直加速度均方根值分別為0.677和 0.235，降幅達到65%，控制效果明顯。同時，考慮發動機功率的大小，求解控制器時對控制力做了約束，輸出控制力在800N之內，遠小于額定最大控制力umax ，其波形圖如圖6所示。

圖3 車身垂直加速度時域波形

圖4 車輪動載荷時域波形

圖5 懸架動撓度時域波形

圖6 主動懸架控制力

3.2 頻域分析

乘坐舒適性和振動頻率有關，根據ISO2361，人體對范圍在4～8Hz的振動頻率最敏感。車身垂直加速度作為評價乘坐舒適性的主要標準，需在時域內和在4～8Hz頻域幅值盡可能低。

圖7、圖8和圖9分別給出了車身垂直加速度、懸架動載荷和車輪動行程頻率響應曲線。為便于比較，根據線性二次型最優控制理論設計了主動懸架最優控制器[6]。從圖7可以看出，在4～8Hz頻域范圍內，兩種控制均使得加速度振動幅值得到降低，而由混合H2/H∞魯棒控制的主動懸架明顯低于線性二次型最優控制器，這主要因為H2性能指標對平均功率譜密度的隨機擾動能有更好的抑制作用。此外，在10Hz附近，垂直加速度并沒有得到一定的改善，原因在于懸架設計的一個不變點[5]。從圖8中分析可知，在0.1Hz到10Hz頻域范圍內，懸架操作穩定性H2/H∞控制器遠優于二次型最優控制。 圖9顯示，在1～10Hz頻域內，H2/H∞魯棒控制對輪胎胎動行程有明顯的抑制作用，但在其他頻域范圍內，輪胎動行程稍有惡化。

圖7 車身垂直加速度頻率響應

圖8 懸架相對動載荷頻率響應

圖9 車輪動行程頻率響應

3.3 魯棒性能分析

車輛懸架系統除了時域和頻域分析外，魯棒性也是其重要評價指標。由于汽車載人或載貨等變化往往引起簧載質量發生很大的變化，本文以簧載質量增加30%為例進行仿真分析，如圖10所示，在整個頻域范圍內，車身加速度響應曲線變化不大，簧載質量的變化對車身加速度影響很小，說明H2/H∞魯棒控制器對系統參數不確定具有良好的魯棒性。

圖10 系統魯棒性能比較

4 結論

通過建立二自由度主動懸架1/4車輛模型，應用同時具有H2性能和H∞性能的H2/H∞魯棒控制理論，以乘坐舒適性和操作穩定性作為控制目標，運用閉環極點約束的方法，設計了H2/H∞狀態反饋控制器，分別從時域特性、頻域特性和魯棒性方面與被動懸架進行了仿真比較，得出如下結論：

1)在H2/H∞控制器作用下，車身垂直加速度幅值降幅達到65%，控制效果明顯。同時，控制器將輸出控制力控制在800N之內，遠小于額定最大控制力；

2)在1～10Hz頻域內，H2/H∞魯棒控制對車身垂直加速度有明顯的抑制作用，雖然在其他頻域范圍內，輪胎動行程稍有惡化。但總體控制效果與線性二次型最優控制器相比得到大幅度改善，H2性能指標對平均功率譜密度的隨機擾動的抑制作用得到了充分體現；

3)在簧載質量增加30%的情況下，H2/H∞魯棒控制器能在整個頻域范圍內，使得車身加速度響應曲線變化不大，簧載質量的變化對車身加速度影響很小。說明H2/H∞魯棒控制器能有效抑制參數不確定性的影響，具有較強的魯棒性。

[1]李偉,張孝祖,李輝.轉向工況下主動懸架H2/H∞魯棒控制研究[J].機械設計.2010,27(3):24-27.

[2]李以龍,鄭玲,羅銘剛,等.汽車主動懸架H2/H∞多目標控制線性矩陣不等式方法[J].重慶大學學報,2010,33(4):1-8.

[3]俞立.魯棒控制一線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學出版社,2002.

[4]余志生.汽車理論[M].北京:機械工業出版社,2006.

[5]羅銘剛.基于LMI 的半主動懸架多目標輸出反饋控制研究[D].重慶:重慶大學,2007.

[6]張國勝,方宗德,李愛民,等.基于遺傳算法的主動懸架最優控制方法研究[J].中國機械工程,2007,18(12):1491-1495.

H2/H∞robust control with closed-loop regional pole constraints for active suspension

CUI Ting, YAN Yun-bing, WENG Jing-liang, ZHOU Bo

以1/4車輛二自由度主動懸架為研究對象，采用同時具有H2性能和H∞性能的H2/H∞魯棒控制理論，運用線性矩陣不等式工具箱，設計出具有H2/H∞性能要求和閉環區域極點約束的狀態反饋控制器。運用閉環極點約束的方法，通過調整傳遞函數||T∞||∞和||T2||2值在H2/H∞混合控制中的權重系數，實現了懸架閉環系統H2和H∞的性能調節。在時域內和頻域內進行了仿真，并與LQR控制器進行了對比分析。結果表明，采用H2/H∞魯棒控制理論設計的控制器對系統參數不確定具有較好的魯棒穩定性，而且能夠有效地抑制外界干擾，很好地改善系統的動態性能。

主動懸架；H2/H∞魯棒控制；閉環區域極點約束；線性矩陣不等式

崔挺（1987 -），男，碩士研究生，研究方向為汽車電子控制技術和汽車系統動力學。

TP273

A

1009-0134(2014)02(上)-0037-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2014.02(上).10

2013-09-27

國家自然科學基金項目（61074036）；湖北省教育廳重點項目（D20121104）；現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室開放基金項目（2012-01）