重新審視數量關系教學的地位

李春英

（浙江省杭州市杭師大東城實驗學校，浙江 杭州 310019）

重新審視數量關系教學的地位

李春英

（浙江省杭州市杭師大東城實驗學校，浙江 杭州 310019）

兒童數學學習的過程，是一個數學方法運用、數學思想表達、數學思考加深的過程，有序、有理、有法是其內在的重要標尺，也最具有數學學科特點。數量關系的運用水平正是學生數學學習水平和數學學習過程的最佳體現。小學數學教材中用規范的數學語言呈現解決問題常用的數量關系，小學數學教師應該在課堂教學中把握數量關系呈現的時機和內容。

解決問題；數量關系；小學

現行教材刪除了獨立的應用題單元，將應用題教學與計算教學緊密結合，融為一體。不少教師在“解決問題”的教學中缺乏全局意識，導致了教學的“脫節”、學生解題能力的下降。我認為小學階段數量關系運用的教學在新教材中仍然具有十分重要的基礎性地位。重新審視數量關系教學在小學數學中的地位，使它能夠“心安理得”地重新回到我們小學數學的課堂中。它的作用就是使學生能夠掌握基本的分析、綜合的方法，積累必要的數量結構，在獲取信息后形成解題思路，學會解決問題。

一、小學數學數量關系教學的基本內容

“數量關系”，顧名思義，是指各種數量之間的關系。我認為小學階段數學的數量關系其實就是加、減、乘、除的關系?！凹印本褪前褞讉€數量合在一起，“減”就是從一個數量里去掉另一個數量，“乘”就是求幾個相同加數和的簡便運算，“除”就是把一個數量平均分成若干等份。如果能夠把這些基本的含義理解透徹了，那么一些人為地總結出的大量的數量關系式就可以找到自己歸屬，學生可以更多地從這四種運算意義出發自己編寫數量關系式，這樣就可以避免因數量關系眾多而給學生帶來的記憶負擔。用數學教學論的觀點來說，數量關系是從一類有共同規律的數學問題中總結出來的揭示某些數量之間的本質聯系，并以數量關系式來表示這種聯系。它為小學生解決同類數學問題指出方向，提供基本方法，形成一種策略，是一種有數學價值的解決問題的模式。

小學階段以數量關系的算術運用為主，涉及簡單的方程運用。主要包括簡單數量關系的運用、復合數量關系的運用，以及特殊數量關系的運用。教學中可以分為三個階段：第一階段主要是一、二年級，要求學生能夠掌握最簡單的也是最為基本的四種數量關系的結構（部總、份總、相差、倍數）；第二階段主要是三、四年級，要求學生能夠把握四種復合數量關系的結構（由四種最基本的簡單數量關系經過交錯組合而形成）；第三階段是五、六年級，要求學生能夠掌握特殊數量關系的結構（把一般的份總關系運用到特殊情境之中，如：購物、工程、行程等問題情境，產生以下一些關系：單價×數量=總價，工效×工時=工總，速度×時間=路程）。

以上數量關系運用都可以分為兩種情況：簡單運用和變式運用。小學階段不論是什么樣的數量關系，都離不開四則運算的意義。許多數量關系都是在加、減、乘、除這四種運算的最基本的含義的基礎上發展起來的。

二、小學數學數量關系教學的基本方法

1.通覽教材和教師教學用書，明確編寫意圖。蘇教版教材中“數量關系”這一數學術語首次以書面形式呈現是在五年級（下冊）第一單元第五頁第2題：用方程表示下面的數量關系。隨后教學列方程解決簡單的實際問題——教材第8頁例題7：“小剛的跳高成績是1.39米，比小軍少0.06米，小軍的跳高成績是多少米？”（教材是以圖文形式出現）中首次出現數量關系的文字表達式：小軍的跳高成績-小剛的跳高成績=0.06，在第9頁的“試一試”下面提供了填空形式的表達式：（ ）的體重×33=（ ）體重。同時在教材第10頁安排了相應的習題，如第5題：根據數量關系列方程，并解答。之前教材中從未出現過“數量關系”這四個字，是否就可以認為教師不用教數量關系？學生也不用把握數量關系呢？五年級教師教學用書中說明，方程的等量關系的教學是在學生熟悉相關的數量關系基礎上進行教學的。既然是用了“熟悉”一詞，就應該想到之前教師應該有數量關系的教學，那么數量關系的教學應該從什么時候開始呢？

記得沈重予老師談教材編排意圖時曾經指出，數量關系是重要的數學內容，學生對數量關系的理解程度，直接影響到解題思路的形成。而且我也翻閱了蘇教版小學數學1～6年級的教學參考書，發現一年級的教參中提到數量關系的地方就有好幾處，而在其他年級的教參中，關于數量關系的提法更是俯首皆是，不勝枚舉。這充分說明教材的編寫者從來也沒有忽視數量關系的教學，只是沒有在教材和教參中具體呈現。因為缺乏必要的依據，教師在教學時，往往關注情境創設，關注信息收集，忽視了數量關系的分析。江蘇省中小學教學研究室王林老師在《也談解決問題與應用題》一文中指出：“第一學段就加強數量關系的教學，幫助學生通過理解數的運算的意義來理解基本的數量關系，抽象出基本的數量關系；根據分析數量關系的難易程度有層次地安排有關應用題的教學；重視引導學生發現問題和提出問題，逐步有機滲透解決問題的策略?！?/p>

2.結合日常教學過程，滲透數量關系。低年級用算術方法解決實際問題往往依賴形象思維的支撐。因為學生往往借助形象思維和生活經驗，很快可以列出正確的算式。而到了中年級，如果還是憑借直觀的思維解決問題，數量關系抽象概括的缺失直接影響學生對數量關系的全面的、深刻的把握。數量關系的呈現需要經歷一個從無到有的過程，從低年級的老師講過渡到中年級的學生講，從中年級的講過渡到高年級的寫，從給定的填空式過渡到自覺地尋找。低年級教師在教學時可以經常性地、口頭說說解決問題時常用到的數量關系式。如：看到“小紅比小麗多跳2下”就能想到：小麗跳的數+2=小紅跳的數，看到“柳樹是楊樹的3倍”就想到：楊樹的棵數×3=柳樹的棵數等。隨著呈現次數的增多，學生在潛移默化的過程中建立一個個數量關系的模型，到中年級時，教師就應該要求學生講數量關系，不必要求語言多么嚴密，措辭多么嚴整，只要能夠完整地表達數量之間的關系即可。在對數量關系有了一定的積累之后，高年級教師就應讓學生寫出數量關系式了，并且在寫的過程中盡可能讓學生完整準確地表達數量關系式。如標準量-相差數=比較量、標準量+相差數=比較量、倍數×倍數=幾倍數、單價×數量=總價等。這樣自覺尋找就容易多了。

這樣的訓練也不能過于機械，還應該適時鼓勵學生發散思維。如設計一些只有一個條件和一個問題的題目，讓學生感悟得出必須知道兩個數量之間的關系才能求出第三個數量。

如“二年級植樹24棵，五年級植樹多少棵？”你能求出嗎？為什么？生說不能，因為不知道五年級比二年級多幾棵還是少幾棵，也不知道五年級的棵數是二年級的幾倍或二年級的棵數是五年級的幾倍。這時教師可以及時告訴學生說不知道五年級和二年級之間的關系，不能求出。如果要求五年級植樹多少棵，你能補充一個條件嗎？要是補充一個“三年級植樹32棵”這個條件能求出嗎？還是不能，為什么？因為三年級的棵數和五年級沒有關系。那我們要補充的條件必須是二年級和五年級兩個數量之間的一個關系。然后啟發學生補充條件如下：五年級比二年級多植樹12棵或二年級比五年級少植樹12棵；五年級比二年級少植樹12棵或二年級比五年級多植樹12棵；五年級植樹的棵數是二年級的2倍或二年級植樹的棵數是五年級的2倍。從中任選一個條件，你能求出嗎？能，為什么？因為我們知道了五年級和二年級之間的關系。找“數量關系”就這么在不知不覺中滲透到了孩子解決問題的策略里。如果是六年級的學生，還可以補充誰是誰的幾分之幾，誰比誰多或少幾分之幾等條件。經常進行數量之間關系的教學，對學生學習正反比例的意義以及中學方程的學習是非常有意義的。

3.提供相對真實的現實情境，抽象數量關系。蘇教版教材為我們提供了大量的相對真實的現實情境，讓學生在解決實際問題的過程中動態探索，理解感悟數量關系。這種明顯帶有個體“數學思考”成分的數學活動是學生運用數量關系解決問題的關鍵所在。

如蘇教版三年級下冊結合認識幾分之一和幾分之幾，安排了解決求一個數的幾分之一和幾分之幾是多少的實際問題。教材提供了一幅猴子采蘑菇的情景圖，有12個蘑菇，把這些蘑菇的分給3只猴子，問題是：分給它們多少個？教學用書要求教師利用學生“對分數實際意義的理解，運用已經掌握的數學知識，通過動手操作探索解決，讓操作和直觀作為學生思考的依托，通過自己的實際操作和觀察，來探索和解決實際問題的數量關系，探求解決問題的方法”。教師在教學中引導學生將情境中的問題與分數的意義相聯系，充分經歷思考與體驗的過程。學生用圓片代替蘑菇，分前要先想一想這里表示的實際意義，就是把12個蘑菇平均分成4份，取這樣的3份的數；然后讓學生邊操作邊列式，先把12個圓片平均分成4份，用算式表示為12÷4=3（個），再取其中的3份，用算式表示為3×3=9（個）。接著，教師不要急于總結求一個數的幾分之幾是多少的解決方法，而要在此基礎上為學生提供更多的相似情境，讓學生通過大量的感悟自己總結其中的數量關系。如把12個蘑菇的分給3只猴子，分給它們多少個？把12個蘑菇的分給3只猴子，分給它們多少個？這些同樣是先用除法求出每份是多少，再用乘法求出這樣的幾份是多少。在此過程中，學生也會有意識地思考情境中的問題與數學意義的聯系，基本數量關系的教學也得到了潛移默化的滲透，這種原始的積累，為學生解決問題能力的發展奠定了堅實的基礎。

4.結合解題思路的敘述，表述數量關系。數量關系式的概括過程是學生把日常用語抽象成數學語言的過程，是將日常用語轉換成符號語言（方程式）的前提。重視解題思路就是要重視教學中的分析與說理，這是因為不僅要通過數量關系的分析找出解答的計算過程，同時計算過程本身也反映了解題的算理。所以要重視教給學生聯系運算意義，把解決問題中敘述的情節語言轉換成數學運算，在理解的基礎上用學生自己的語言敘述。

一步計算解決的簡單實際問題，要訓練學生表述簡單實際問題的基本結構，使學生明確簡單實際問題是由兩個已知條件和一個問題組成的，缺少條件要補條件，缺少問題要補問題才能構成一道完整的題，同時條件與條件，條件與問題之間要有一定的聯系。教學時可以進行提問題、填條件的練習。通過訓練，學生看到相關聯的兩個條件能提出問題，看到一個問題一個條件就能意識到還要補充什么條件。這一訓練還可以使學生加深對應用題數量關系的認識，也為今后教學復合應用題提出中間問題做準備。教學時教師要進行必要的指導，如引導學生用“先……再……”“根據……可以知道……”等語言來表述，以提高學生語言表達的條理性和嚴密性。

這是學生第一次學習兩步計算的實際問題。教材以圖文結合的形式呈現了問題：大猴采了3筐桃，每筐12個。小猴采了6個桃，兩只猴一共采了多少個桃？

表述思考過程：讓學生聯系已有的經驗說出思考過程。①根據條件“大猴采了3筐桃，每筐12個”，可以先求出大猴采了多少個桃。②根據問題“兩只猴一共采了多少個”，想到大猴采的不知道，應該先算大猴采的個數。表述算法的選擇：無論哪種想法，當明確了這個“中間問題”之后，解題思路也就形成了。①求大猴采的個數，要用每筐個數×筐數。②求兩只猴一共采的個數，要用大猴采的個數+小猴采的個數。表述結題思路：在學生列式解決問題之后，教師可以讓學生討論下面幾個問題：這道題是分幾步解答的？先算了什么？為什么要先算大猴采了多少個？是利用哪兩個條件計算的？引導學生反思解題過程，初步形成用分析法和綜合法思考問題的意識。顯然，兩步計算實際問題可以看作是兩個一步計算問題的綜合。因此，對一步計算問題數量關系的理解直接影響著兩步計算實際問題的解決。在教學兩步計算實際問題的過程中，還要讓學生初步體會整理信息不是羅列條件和問題，還要發現條件之間的聯系，研究條件與問題間的關系，能從中再生出新的、有用的信息。

除了加、減、乘、除意義的基本數量關系，還有密切結合某些實際素材的常見數量關系。如“單價×數量=總價”、“工作效率×工作時間=工作總量”等。這些數量關系的得出，都必須經過一個梳理和歸納的過程。而運用數學語言來提煉數量關系是此項過程中不可或缺的重要環節。面對一個問題情境，教師應鼓勵學生基于自己已有的知識經驗自主構建“原生態”的數量關系，在此基礎上，教師可以引導學生進一步轉換思維視角，從而獲得更為簡約、更為概括的數量關系模型，進而通過對這一數量關系模型的變式運用，實現數量關系結構化遷移。不同的角度反映了數量之間的本質聯系。像這樣，讓學生經歷從多角度思考問題，對發展他們的數學思維、提高思維的靈活性和敏捷性會起到很大的作用。

總之，新課程并沒有舍棄數量關系的抽象，而是要求創新數量關系的教學方法，強調在發展學生數學理解的前提下進行數量關系的抽象概括。當我們重新審視了小學數學數量關系教學的地位后，我們驚喜地發現數量關系在新教材中牢固的基礎性地位不可動搖。我們更希望編寫者能在教材或教師教學用書上為數量關系提供適當的空間位置，讓一線教師更加清楚要為數量關系的教學做些什么，怎么做；更希望一線教師能充分理解編者的意圖，將數量關系的教學滲透在日常教學中，逐步提高學生分析問題、解決問題的能力。

[1]吳亞萍.數量關系運用的結構教學初探 [J].小學數學教師，2007，（7）.

[2]陸順昌.新課程要摒棄數量關系嗎[J].小學數學教師，2007，（9）.

[3]沈超.從知識形態和載體的角度談解決問題和應用題[J].小學數學教師，2009，（4）.

G632.0

A

1674-9324（2014）17-0109-03

李春英（1967-），女，山西大同人，碩士，特級教師，浙江省杭州市杭師大東城實驗學校教師，研究方向：小學數學教學。