厚壁圓筒自增強幾個關鍵問題辨析*

朱瑞林　李　權

（湖南師范大學工程與設計學院)

厚壁圓筒自增強幾個關鍵問題辨析*

朱瑞林**李權

（湖南師范大學工程與設計學院)

摘要以塑性區深度表征超應變度，研究了不同的超應變度計算方法對自增強圓筒有關應力及承載能力的影響，分析了不同的超應變度計算方法所產生的效果，提出了相關的計算公式和圖表。

關鍵詞厚壁圓筒自增強承載能力超應變度壓力容器

0　前言

描繪自增強圓筒應力分布與承載能力等的參數和計算式紛繁復雜且相互密切聯系，這些參數的變化往往引起自增強圓筒應力分布與承載能力等的相應變化，且牽一發而動全身。盡管實際使用的自增強圓筒的應力未必完全精確地由這些參數和公式刻畫，但對于材料完全彈塑性且各向同性、不計包辛格 （Bauschinger）效應、不計應變硬化、材料沒有缺陷且橫截面為絕對圓形的圓筒，其應力分布與承載能力等特性理論上一定是由這些參數和計算式決定的。實際使用的自增強圓筒，其應力情況與承載能力等也必須以理論結果為基礎，或者說應該采用理論研究結果并在理論基礎上進行修正。

對于自增強的具體工程問題，國內外不少學者進行了一系列研究，例如，文獻 [1-3]便是典型的研究，這些研究都運用了自增強技術的一般理論。本文著眼于一般的理論研究，針對上述理想情況下的圓筒，按第三強度理論進行分析計算，以便得到一般的規律。至于實際使用的自增強圓筒，不妨在此基礎上加以修正。

超應變度是關鍵參數，故本文從超應變度出發著手研究。為方便起見，本文以塑性區深度表征超應變度。

1　超應變度的確定方法及其比較

由文獻 [4-7]中關于自增強的理論結果，可以導出彈塑性界面處總應力的當量應力σejT為

式中σy——屈服限；

k——徑比，即內外半徑之比；

kj——塑性區深度，為塑性區半徑與內半徑之比，kj與超應變度ε的關系是ε=(kj-1)/k；

p——圓筒所承受的內壓。

本文以p/σy表征承載能力。同時也可導出內壁面上殘余應力的當量應力σei′為

有的文獻 （如文獻 [4,5]）提供了一個確定塑性區深度的公式，其原則是使σejT最小，結果是

此時σejT/σy的最小值為

下面研究按式 （3）確定塑性區深度時，內壁面上殘余應力的當量應力如何表達。為此，將式 （3） 代入式（2）， 得

對式 （5），令σei′/σy≥-1，得

針對式 （6），分4種情況討論。

（1）第一種情況：

此時，為使σei′/σy≥-1，應有

（令2.218 457 489 916 7…=kc，kc可稱為臨界徑比）即只有當kj≤kc，亦即p/σy=lnkj≤0.796 812…時，k≥kj；kj≥kc，即 p/σy=lnkj≥0.796 812…時，k≤kj，工程上無意義。0.5≤p/σy≤0.796 812…對應于e0.5≤kj≤kc。

（2）第二種情況：

此時，為使σei′/σy≥-1，應有

（3）第三種情況：

這種情況為不可能事件。

（4）第四種情況：

滿足上式時，式 （6）必成立。即ln20.5≤p/σy≤0.5時，必有σei′/σy≥-1， 亦即按kj=ep/σy確定塑性區深度時，若ln20.5≤p/σy≤0.5，卸除自增強壓力后不發生壓縮屈服。ln20.5≤p/σy≤0.5對應于20.5≤kj≤e0.5。

式 （6）所表示的k~p/σy關系 （取等號）如圖1中實曲線bac、df兩段所示，圖中虛曲線dah是kj= exp(p/σy)，借此可清晰地比較k、kj的大小關系。式（6） 取等號后將 k對 p/σy求導可得：p/σy= 0.796 812…時，k有極小值kc（即圖1中點a）。這一結果也可結合式 （7）、式 （8）分析而知。點a把曲線bac分成ba、ca兩部分。p/σy=0.5時，k=∞。圖1中ba部分的k～p/σy關系交換縱、橫坐標后重繪于圖2，該圖同時繪出了最大彈性承載能力pe/σy、全屈服壓力py/σy和 σejT/σymin，以便于分析、比較。圖1中ba、ca部分實際上反映的是承載能力，承載能力的解析式就是式 （6），這是一個以k為自變量、p/σy為因變量的隱式。由圖2可知，按kj=exp(p/σy)確定塑性區深度，按式 （6）確定承載能力，可使σejT/σymin遠小于1， 且k越大，σejT/σymin越小。

圖1　曲線k22p/σy-2

圖2　kj=exp(p/σy)時的承載能力與σejT/σymin

利用kj=exp(p/σy)關系可將圖1中ba、ca部分所表示的k～p/σy關系轉換成相應的k～kj關系，分別如圖3、圖4所示。

按照kj=exp(p/σy)的關系，ca部分所對應的塑性區深度有kj＞k（kj在圖3中直線kj=k之上），ca部分所對應的承載能力有p/σy≥lnk，這種情況在工程上無意義。而同樣按照kj=exp(p/σy)的關系，ba部分所對應的塑性區深度有kj＜k（kj在圖4中直線kj=k以下），ba部分所對應的承載能力有p/σy≤lnk（比較圖2中曲線ai、ab）。但由圖 2可以看到，承載能力p/σy是隨著k的增大而下降的。也就是說，若既要使σejT/σy最小，又要保證不發生壓縮屈服，就只能按式（6）確定承載能力，而式（6）對應于曲線ba部分 （ca部分因kj＞k而無意義）的情況表明圓筒越厚，承載能力反而越低，這不符合工程事實。導致這種現象發生實際上是由于采用了 “彈塑性界面上總應力最小”這一原則，kj=exp(p/σy)便是這一原則的結果。所以 “彈塑性界面上總應力最小”這一原則是值得商榷的。

圖3　kj＞k時的k～kj關系

圖4　kj=exp(p/σy)時避免壓縮屈服的塑性區深度

利用kj=exp(p/σy)可將式 （6）轉換成

從圖2看到，按kj=exp(p/σy)確定塑性區深度， 按式（6） 確定承載能力，σejT/σymin遠小于 1。于是設想，若按kj=exp(p/σy)確定塑性區深度，而使σejT/σy=1，情況將如何呢？這只要把kj=ep/σy代入式 （10）即可得到

此時kj=exp(p/σy)=k，即需要作全屈服的自增強處理才能使圓筒承載后彈塑性界面總應力σejT/σy= 1。但是，全屈服狀態 （kj=k）下，欲不產生壓縮屈服，根據式 （9）應有

由此導出k≤kc，徑比超過kc的圓筒作全屈服自增強處理時一定會發生壓縮屈服；徑比小于kc的圓筒作全屈服自增強處理后其承載能力可達到全屈服壓力。

即使不考慮kj=exp(p/σy)的關系，也可以證明當p/σy=lnk時，為使σejT/σy=1，也須有kj=k。為此將p/σy=lnk代入式 （10），整理后得

將p與pe作比較，可清楚地看出自增強的效果，為此令

將式 （6）取等號，利用式 （14）將p/σy另換算成n，把式 （6）的結果列于表1，并將n~k關系繪于圖5，以備工程上查用。

表1　k與p/σy的數值關系（0.5≤p/σy≤0.796 812…）（σei′/σy=-1，σejT/σy最小）

圖5　使σejT/σy最小、σei′/σy=-1的n～k關系

下面比較總應力的分布情況。以k=3為例，不發生壓縮屈服時，kj=1.748 442。按照文獻 [6]的觀點，這樣的圓筒可承載p=2pe=(8/9)σy，圖6（a）是這種情況下的總應力分布。按照kj=exp(p/σy)的觀點，這樣的圓筒可承載p=lnkj=0.558 725…σy。圖6（b）是這種情況下的總應力分布。若不考慮壓縮屈服問題，承受p=2pe=(8/9)σy的載荷時，按照kj=exp(p/σy)的觀點，kj=2.432 425…，總應力分布如圖6（c）所示。kj=1.748 442、p=0.8σy的總應力分布如圖6（d）所示。有關參數標注在相應的圖中，圖中x代表筒壁中點的相對位置，即點的半徑與內半徑之比。

圖6　總應力分布的比較

由圖6看到，由于其中圖（a）、(c)、(d)三種情況下圓筒受載較大，故應力水平較高，但在安全范圍內；而圖（b）情況下圓筒受載較小，故應力水平較低。在圖（a）情況下，由于kj由式（9）確定且p=2pe，故整個塑性區總應力的當量應力σeT/σy≡1。在圖（d）情況下，kj由式 （9）確定，載荷比 2pe略小，因而σeT/σy從內壁面略小于1開始緩慢上升至彈塑性界面處等于 1。值得注意的是，要承受 p= 0.558 725…σy的載荷，按照文獻 [6]的觀點，即p/σy=(k2-1)/k2=0.558 725，從而 k=1.505 377…＜kc。由于當k＜kc時，(k2-1)/k2＞lnk，按p/σy=(k2-1)/k2承載會使 σejT/σy＞1， 由此只能按 p/σy=lnk承載，但ln1.505 377…＜0.558 725…，故要承受p= 0.558 725…σy的載荷，可利用k=kj=1.748 442的圓筒作全屈服自增強處理，既不會發生壓縮屈服，也可承載p/σy=lnk=0.558 725…的載荷。事實上，表1中對所有k都有kj＜kc，為承受表1第2欄的載荷，不必使用第1欄的徑比，而只需使用徑比k=kj的圓筒作全屈服自增強處理即可。例如，為承受p/ σy=0.538 103的載荷，不必使用k=3.5的圓筒，而只需使用k=1.712 755的圓筒。對該圓筒作全屈服自增強處理，即可承受p/σy=0.538 103的載荷。這樣，厚度可降低，即

對于p/σy≤0.796 812的載荷，都可以采用全屈服自增強處理的圓筒，使其承受p/σy=lnk載荷。至于p/σy＞0.796 812的載荷，若以kj=exp(p/σy)確定塑性區深度，會發生反向屈服，見下述的算例。

2　算例驗證

例1，k=3。

①按式（9），不發生反向屈服的kj=1.748 442，承載能力為p/σy=2pe/σy=0.889。按式（1），σejT/σy= 1； 按式（2）， σei′/σy=-1。

② p/σy=0.889（＞0.796 812） 時， 按式（3），kj=2.432。 kj=2.432時， 按式（1）， σejT/σy=0.935；按式 （2），σei′/σy=-1.385 （壓縮屈服）。

③為了不發生壓縮屈服，由k=3查表1得p/σy=0.558 725。此時，按式（3），kj=1.748 442，與上述第①種情況相同；按式 （1），σejT/σy=0.757；按式 （2），σei′/σy=-1 （不發生壓縮屈服）。

例2，k=5。

①按式（9），不發生反向屈服的kj=1.675 565，承載能力為p/σy=2pe/σy=0.96。按式 （1），σejT/σy=1；按式 （2），σei′/σy=-1。

②p/σy=0.96時，按式（3），kj=2.612，kj=2.612時，按式（1）， σejT/σy=0.889；按式（2），σei′/σy= -1.757（壓縮屈服）。

③為了不發生壓縮屈服，由k=5查表 1得p/σy=0.516 15。此時，按式 （3），kj=1.675 565，與上述第①種情況相同； 按式（1）， σejT/σy=0.671；按式 （2），σei′/σy=-1（不發生壓縮屈服）。

3　結論

本文以塑性區深度表征超應變度，研究了不同的超應變度計算方法對自增強圓筒有關應力及承載能力的影響，分析了不同的超應變度計算方法所產生的效果，提出了相關的計算公式和圖表。因此，有下面的結論：

（1）按 kj=ep/σy確定塑性區深度， 可使彈塑性界面處總應力的當量壓力最小，且遠小于屈服限；為使內壁面殘余應力的當量壓力不超過屈服限 （不發生壓縮屈服），相應于按kj=ep/σy確定塑性區深度的承載能力須隨著徑比的增加而降低，彈塑性界面處總應力的當量壓力小于屈服限，若使彈塑性界面處總應力的當量壓力等于屈服限，承載能力可達到全屈服載荷，但僅限于徑比k≤2.218 457 489 916 7…的圓筒。

(2）按k2lnkj2-k2-kj2+2≥0確定塑性區深度時，內壁面殘余應力的當量壓力等于屈服限，若同時使彈塑性界面處總應力的當量壓力等于屈服限，徑比k≤2.218 457 489 916 7…時，承載能力為全屈服載荷；徑比k≥2.218 457 489 916 7…時，承載能力為最大彈性承載能力的2倍。

(3）不論從什么角度控制內壁面殘余應力的當量壓力不超過屈服限，結果都得到k2lnkj2-k2-kj2+ 2≥0。例如，按kj=ep/σy確定塑性區深度，保證內壁面殘余應力的當量壓力不超過屈服限的結果也相當于k2lnkj2-k2-kj2+2≥0。

(4）塑性區深度kj≤e0.5時，不論徑比多大，都不會發生壓縮屈服。按不發生壓縮屈服的觀點，此時p/σy≤0.5。

參考文獻

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埃克森美孚授權轉讓遠程天然氣泄漏檢測技術

埃克森美孚授權為加工裝置轉讓遠程天然氣泄漏檢測技術。埃克森美孚石油公司上游研究公司于2014年2月20日將其創新的InteliRed遠程氣體探測系統提供給共同開發者普羅維登斯光子學（Providence Photonics）公司授予第一個商業許可。

該 InteliRed系統旨在提高煉油廠、化工廠、LNG設施和其他氣體處理設施過程的安全和環保性能。這個新的先進的系統采用了一個專門開發的計算機算法，可自動分析紅外攝像機圖像，以便檢測逃逸的烴類氣體。該InteliRed系統可提供烴類泄漏的早期預警警報，實現最小的假警報。

普羅維登斯光子學公司是普羅維登斯工程公司的附屬公司，總部位于美國巴吞魯日。埃克森美孚和普羅維登斯的科學家化了4年時間共同開發了InteliRed系統，還積累了該系統自2013年至今在卡塔爾的液化裝置上的實地測試經驗。（錢松）

*湖南省教育廳重點資助科研項目，編號12A087。

**朱瑞林，男，1962年生，博士，教授。長沙市，410081。

中圖分類號TH49

(收稿日期：2013-10-15)

Discrimination between Key Problems on Autofrettage of Thick Wall Cylinder

Zhu Ruilin Li Quan

Abstract：Characterizing overstrain with the depth of plastic zone,studied the influence of different overstrain calculation methods on stress and bearing capacity of autofrettaged cylinder.Analyzed the effect of different methods for overstrain calculation,offered the relevant formulas and charts.

Key words：Thick wall cylinder;Autofrettage;Load-bearing capacity;Overstrain;Pressure vessel