試論待定系數法在高中數學教學中的應用

摘 要： 待定系數法是一種基本的數學方法，也是解決數學問題最常用的數學方法之一，高中階段的數學主要方法之一。

關鍵詞： 待定系數法；高中數學；函數

在高中數學中，待定系數法是一種基本的數學方法，也是解決數學問題最常用的數學方法之一。那么什么是待定系數法？高中階段的數學主要是以函數為主線來進行學習的，因此其定義是從函數的角度給出的：一般地，在求一個函數時，如果知道這個函數的一般形式，可以先把所求函數寫為一般形式，其中系數待定，然后再根據題設條件求出這些待定系數。這種通過求待定系數來確定變量之間關系式的方法叫待定系數法。

待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。下面簡述待定系數法在幾個方面的應用：

一、在函數中的應用

例1、已知函數y= 的最大值為7，最小值為-1，求此函數式。

分析：求函數的表達式，實際上就是確定系數m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數的值域，對分子或分母為二次函數的分式函數的值域易聯想到“判別式法”。

解：函數式變形為：（y-m）x2-4 x+（y-n）=0，x∈R，由已知得y-m≠0，∴△=（-4 ）2-4（y-m）（y-n）≥0，即：y2-（m+n）y+（mn-12）≤0 ①，不等式①的解集為（-1，7），則-1、7是方程y2-（m+n）y+（mn-12）=0的兩根，代入兩根得： 1+（m+n）+mn-12=049-7（m+n）+mn-12=0，解得：m=5n=1 或 m=1n=5∴y= 或者y= ，此題也可由解集（-1，7）而設（y+1）（y-7）≤0，即y2-6y-7≤0，然后與不等式①比較系數而得：m+n=6mn-12=-7，解出m、n而求得函數式y。

注：在所求函數式中有兩個系數m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數值域問題，得到了含參數m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數值域的“判別式法”：將y視為參數，函數式化成含參數y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0，建立了關于參數y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數化成一個一元二次方程。

二、在解析幾何中的應用

例2、已知橢圓 + =1（a>b>0）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F2為頂點的三角形的周長為4（ +1）。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上已于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A，B和C，D。求橢圓和雙曲線的標準方程（2010年山東高考）。

分析：要用待定系數法求解解析式，首先要知道函數解析式的形式，然后用字母表示出解析式。然后根據題目中給出的已知條件解出未知數，最后寫出解析式。

解：設橢圓的半焦距為c，由題意可得：橢圓的離心率為 = ，根據幾何關系，可得到關系式2a+2c=4（ +1），聯立上兩式解方程組，得a=2 c=2，又根據關系式a2=b2+c2，可得b=2。故橢圓的標準方程為 + =1，由題意可設等軸雙曲線的標準方程為 - =1（m>0），又由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以有m=2。

三、在證明中的應用

例3、是否存在常數a、b、c，使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2= （an2+bn+c）對一切自然數n都成立？并證明你的結論。（89年全國高考題）

分析：是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數n都成立，取特殊值n=1、2、3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數學歸納法證明等式對所有自然數n都成立。

解：假設存在a、b、c使得等式成立，令：n=1，得4= （a+b+c）；n=2，得22= （4a+2b+c）；n=3，得70=9a+3b+c。整理得：a+b+c=244a+2b+c=449a+3b+c=70，解得a=3b=11c=10，于是對n=1、2、3，等式1·22+2·32+…+n（n+1）2= （3n2+11n+10）成立，下面用數學歸納法證明對任意自然數n，該等式都成立：假設對n=k時等式成立，即1·22+2·32+…+k（k+1）2= （3k2+11k+10）；當n=k+1時，1·22+2·32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2= （3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2= （k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2= （3k2+5k+12k+24）= [3（k+1）2+11（k+1）+10]，也就是說，等式對n=k+1也成立。

綜上所述，當a=8、b=11、c=10時，題設的等式對一切自然數n都成立。

參考文獻

[1] 平面解析幾何.人民教育出版社