用電荷分布表示的靜電場總能量公式

摘 要：由用場強表示的靜電場總能量公式推導出帶電體的電荷分布分別為體分布、面分布、線分布、點分布時，用電荷分布表示的靜電場總能量公式，并由此歸納得出用電荷分布表示的靜電場總能量的一般表達式.

關鍵詞：靜電場;電荷分布;電勢;能量公式

一、引言

靜電場能量密度：

用場強表示的靜電場總能量公式為

（1）在靜電情形下，電場與電荷相聯系，靜電場既可用場強描述也可用電荷分布來描述，因而靜電場的總能量W除了用場強表示外，還可以用電荷分布表示.由式（1）導出用電荷分布表示的靜電場總能量公式為

（2）式（2）中的電荷分布只為體分布.對于電荷分布為面分布的情形，是將式（2）中的變為，dV變為dS而得，即

用式（1）對電荷分布分別為體分布、面分布、線分布、點分布情形，導出用電荷分布表示的靜電場總能量公式，從而歸納得出靜電場總能量的一般形式為

指出線分布，點分布是由體分布情形變形而得，即線分布、點分布是體分布的特殊情形，電荷分布為線分布、點分布情形時的靜電場總能量公式可用式（1）表示;面分布情形的靜電場總能量公式的推導應用了靜電場的邊值關系，不是由體分布情形變形而得，即面分布不是體分布的特殊情形，因而電荷分布為面分布情形時的靜電場總能量公式不可用式（1）表示.

二、電荷分布為體分布的靜電場總能量公式

帶電體電荷分布僅是體分布，其體密度為，分布在有限區域V，由式（1）推導出用電荷分布表示的該帶電體在空間激發靜電場的總能量公式.

由和得

代入式（1） （3）

把式（3）右邊第二項體積分化為面積分

所以式（3）可以寫成

（4）

對于靜電場總能量而言，考慮的是分布在整個空間的靜電場，則式（1）的體積分是對整個空間進行的，而整個空間的邊界面在無限遠處，邊界面無限大.當電荷分布在有限區域且電量有限時，空間電場的隨而變，D隨而變，經過r處的閉合面的面積隨r2而變，因此當r趨向無限遠時，式（4）右邊第二項對整個空間的邊界面的積分為零，即

代入式（4）得

（5）

式（5）就是電荷分布為體分布的靜電場總能量公式，由式（1）導出的用電荷分布表示的靜電場總能量公式式（2）一致.

三、電荷分布為面分布的靜電場總能量公式

帶電體電荷分布僅為面分布.設帶電體的體積為V（V的大小有限），電荷連續分布在帶電體的表面S上，即電荷分布在V的邊界面S上，電荷面密度為，此帶電體沒有電荷體密度，即，那么式（4）右邊的第一項也就為零，即

因此，式（3）就可以寫成

（6）

將整個空間分成兩部分，一部分為帶電體所占的空間區域 ，另一部分為除帶電體外的空間區域（），因此式（6）可以寫成

把體積分變成面積分上式可寫成

（7）

上式右邊第一項對整個空間的邊界面上的積分為零，即

式（7）就可以寫成

（8）

由邊值關系

式（8）可寫成

（9）

式（9）就是電荷分布為面分布的靜電場總能量公式.

以上推導應用了靜電場的邊值關系，電荷分布為面分布的靜電場總能量公式不是由體分布情形下用電荷分布表示的靜電場總能量公式推導得來的，所以電荷分布為面分布的情形不是體分布的特殊情形，電荷分布為面分布的靜電場總能量公式不可用式（5）表示.

四、電荷分布為線分布的靜電場總能量公式

帶電體的電荷分布為線分布.設電荷連續分布在長為為的線上，其電荷線密度為 .電荷線分布是一理想模型，是當場點與帶電體的距離比帶電體截面尺大得多時，忽略截面大小而得.用dS來表示橫截面積，那么有，則，代入式（5），就可以得到

（10）

由電荷線密度的定義

式（10）可寫成

（11）

式（11）就是電荷分布為線分布的靜電場總能量公式.

以上推導是由式（5）----電荷分布為體分布的靜電場總能量公式推導得到的，所以電荷分布為線分布的情形是體分布的特殊情形，電荷分布為線分布的靜電場總能量公式可用式（5）表示.

五、電荷分布為點分布的靜電場總能量公式

若電荷分布為點分布，即帶電體大小和形狀的影響可以忽略，把帶電體上的電荷看成是集中在一個幾何點上.取x為場點位矢，x0為源點位矢，借助于函數

點電荷的電荷密度可用 函數來描述.電量為 的點電荷，其電荷密度分布函數為

式（5）就可以寫成

（12）

設空間電場由N個點電荷激發.上式對整個空間進行積分，用來表示所有的點電荷在qi處產生的電勢，這樣就得到靜電場總能量公式為

（13）

式（13）從電荷做功和功能原理出發推導得出的靜電場總能量公式一致.

由以上可知，式（13）是由式（5） 推導而得，即電荷分布為點分布的靜電場總能量公式是由電荷分布為體分布的靜電場總能量公式推導而得，所以式（13）與式（5）都可以用來表示電荷分布為點分布的靜電場總能量公式.電荷分布為點分布的情形是體分布的特殊情形，一般情況下，電荷分布為點分布的靜電場總能量公式可用式（5）表示.

六、小結

對于電荷分布為線分布，點分布情形，由于電荷分布為線分布，點分布情形就是體分布的一種特殊情形，兩情形用電荷分布表示的靜電場總能量公式都是由電荷分布為體分布的靜電場總能量公式推導而得，因而一般情況下，兩情形用電荷分布表示的靜電場總能量公式均可用電荷分布為體分布的靜電場總能量公式式（5）表示;而對于電荷分布為面分布情形，其用電荷分布表示的靜電場總能量公式的推導過程中應用了靜電場的邊值關系，而不是由電荷分布為體分布的靜電場總能量公式推導而得，需要的條件與線分布和點分布不一樣，所以面分布不是體分布的特殊情形，電荷分布為面分布的靜電場總能量公式只能用式（9）表示.

一般情況下，電荷分布除了體分布外，還有面分布，用電荷分布表示的靜電場總能量公式就應該用體分布和面分布一起來表示，因此一般情況下用電荷分布表示的靜電場總能量的表達式為

（19）

式（19）在除了體分布的電荷外，還有面分布的電荷，表示電荷系的總靜電能的式（1.7-10）一致，但沒有對式（1.7-10）作出推導.